Μαθηματικά Γ' Λυκείου

308 / 368

307
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Θέμα 41
Θέμα 42
Δίνονται οι πραγματικές συναρτήσεις f, g, h με
· ( )
3
2 x
f x x αx 1
3
= - + - , Î
x και α 0³
· ( ) æ ö
= - - × +ç ÷
è ø
2 1
g x x x α x
3
, Î
x και α 0³
· ( )
h x x βlnx = + , x 0> και Î
β .
α. Να βρείτε τις τιμές των α και β ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως αύξου-
σα στο , η συνάρτηση g να είναι γνησίως φθίνουσα στο , και επιπλέον
να ισχύει ότι ( )
h x 1³ για κάθε x 0> .
β. Αν α 1= και β 1= -
β1 . Να βρείτε το πλήθος ριζών της εξίσωσης x 2014
x e - = .
β2 . Nα δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ( )
ξ 0, 2Î τέτοιο ώστε
( ) ( )
f ξ g ξ= .
β3 . Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό κοινό σημείο των f C και g
C και ότι δεν
δέχονται σε αυτό κοινή εφαπτομένη.
Δίνεται η πραγματική συνάρτηση ®
f : με ( ) =
f για την οποία ισχύει
( ) ( ) ( )
f x
3
f x f x x 1 e+ - = - για κάθε Î
x
α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού
της.
β. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται και να βρείτε τον τύπο της αντί-
στροφης συνάρτησης .
γ. Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων της f και της 1
f- .