305 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
304
Θέμα
36
Θέμα
37
γ.
Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης
( )
f x 0
=
.
δ.
Να αποδείξετε ότι
4
3
3x 4x 12xlnx 8 0
- -
+ >
για κάθε
x 2
>
ε.
Αν για τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς
α,β, γ
ισχύει
=
2018
αβγ e
να
δείξετε ότι
(
)
(
)
(
)
- + - + - ³
2
2
2
α α 1 β β 1 γ γ 1 2018
.
Δίνεται
η συνεχής συνάρτηση
f :
®
και η γνησίως μονότονη συνάρτηση
g :
®
, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία
(
)
A 1,0
-
και
(
)
+ - >
κ
3
B 0,e
κ 1 , κ 0
. Επιπλέον ισχύει:
·
( )
( )
(
)
+ - = Î
2 3
g f 1 x f 1 3 0 , x
·
( )
(
)
( )
2
2
x 2
f x x 2 f x x 1
lim
3
x 2
®
+ -
+ -
=
-
α.
Να δείξετε ότι η
g
είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της .
β.
Να δείξετε ότι
( )
f 1 0
>
.
γ.
Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της
f
έχει τουλάχιστον ένα κοινό σημείο
με τον
άξονα των
x
΄
x
με τετμημένη
( )
0
x 1,2
Î
.
δ.
Να υπολογίσετε, αν υπάρχει,
το όριο
( )
(
)
®+¥
é
ù
-
ê
ú
+ ê
ú
ë
û
κ
0
4
κ
g f x e
lim
ημκ
κ κ
.
Δίνεται η συνάρτηση
f
με τύπο:
( )
(
)
(
)
λ 1
3
x x 8
3 e
, 0 x 4
x 8 x 20
f x
x
ημ x 4
λ
, x 4
12 x 5 3
-
ì
-
-
< <
ï
+ -
ï
= í ×
-
ï
>
ï
+ -
î
με
Î
λ
.
Δίνεται επιπλέον μια συνάρτηση
®
g :
με
( )
=
g
για την οποία ισχύει
( )
2
2
x 2
g x x
λ 2
lim
2
x 4
®
+ - -
=
-
με
Î
λ