300 / 368
299
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Θέμα
28
Θέμα
27
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση
(
)
f : 0,
+¥ ®
για την οποία ισχύει ότι
( )
( )
xf x lnx f x
- =
,
για κάθε
(
)
x 0,
Î +¥
.
α.
Να βρείτε τον τύπο της
f.
Αν
( )
lnx
, 1 x 0
f x x 1
1 , x 1
ì
¹ >
ï
= -í
ï
=
î
β.
Να αποδείξετε ότι η
f
είναι παραγωγίσιμη.
γ.
Να αποδείξετε ότι η
f
αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της
1
f
-
.
δ.
Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της
f
C
στο
( )
(
)
Α 1,f 1
και την εξί-
σωση της εφαπτομένης της
1
f
C
-
στο σημείο με τεταγμένη
0
y 1
=
,
θεωρώ-
ντας ότι η
1
f
-
είναι παραγωγίσιμη
.
ε.
Να αποδείξετε ότι
2017ln2017 2016ln2018
>
.
στ.
Να αποδείξετε ότι
( )
e
1
f x
dx 1
x
<
ò
.
Σε ένα εργοστάσιο παραγωγής χριστουγεννιάτικων στολιδιών υπάρχουν τρεις
μηχανές .
Η
πρώτη
μηχανή κατασκευάζει σύρμα με χρωματιστό φιόγκο.
Το μήκος
f
του σύρματος, σε
m,
που κατασκευάζεται δίνεται συναρτήσει του
χρόνου
t
σε ώρες από τον τύπο
( )
t
f t e t 1
= - -
.
Η
δεύτερη
μηχανή κατασκευάζει κορδέλα που το συνολικό μήκος της
g
, σε
m,
δίνεται επίσης συναρτήσει του χρόνου
t
σε ώρες από τον τύπο
( ) (
)
g t ln t 1
= +
.