304 / 368
303
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Θέμα
34
Θέμα
35
Θέμα
33
Δίνονται οι συναρτήσεις
( )
f x
lnx – x
=
,
x 0
>
και
( )
2
2
g ln x 2xlnx
x
x – 3
= + +
,
x 0
>
.
α.
Να μελετήσετε την
f
ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα και την
g
ως
προς την κυρτότητα.
β.
Να βρείτε την
εξίσωση της
εφαπτομένης
της
g
C
στο
( )
(
)
Α 1,g 1
.
γ.
Να λύσετε την
εξίσωση
( )
4x – g
x 6.
=
δ.
Να υπολογίσετε, αν υπάρχει,
το
2
x 1
x x 1
lim
x lnx 4x 3
+
®
+ +
+ - -
.
Δίνεται
το πολυώνυμο
( )
3
2
Ρ αx βx γ δ
x
x
= + + +
,
>
α 0
που
έχει τρεις ρίζες
1
2
3
ρ ρ ρ
< <
.
α.
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση
( )
Ρ 0
x
¢
=
έχει δύο ακριβώς ρίζες
1 2
x , x
με
1
2
x x
¹
.
β.
Να αποδείξετε ότι
2
β 3αγ.
>
γ.
Να αποδείξετε ότι
( )
( )
1
2
Ρ
Ρ
x
x 0
¢¢
¢¢ +
=
, όπου
1 2
x , x
οι ρίζες του
(α)
ερωτήμα-
τος.
δ.
Να εξετάσετε αν
το πολυώνυμο
( )
Ρ
x
παρουσιάζει σημείο καμπής σε κάποια
από τις ρίζες
1 2
x , x
της εξίσωσης
( )
Ρ'
x 0
=
.
Δίνεται η συνάρτηση
( )
= - - -
3 2
f x x x lnx 1,
x 0
>
.
α.
Να μελετήσετε την συνάρτηση f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.
β.
Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.