309 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
308
Θέμα
43
Θέμα
44
δ.
Δίνεται επιπλέον
η γνησίως μονότονη συνάρτηση
g :
®
που
η γραφική
της παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(1,2) και Β(2,1)
.
Να λύσετε
την α-
νίσωση
(
)
(
)
(
)
3
g f g x x 2 1 2 1
+ + - + >
.
Δίνεται η συνάρτηση
[
)
f : 1,
+¥ ®
με
[
)
(
)
[
)
f 1,
1,
+¥ = +¥
και η γνησίως μο-
νότονη συνάρτηση
h:
®
, για τις οποίες
ισχύει
(
)
( )
(
)
2x
x
x
h e lnx e h e f x
×
+ = ×
για κάθε
³
x 1
α.
Να βρείτε
τον τύπο
της συνάρτησης
( )
f x
και να δείξετε ότι αντιστρέφεται
.
β.
Να λύσετε
την ανίσωση
(
)
(
)
- + +
>
2
2
3x 2x 1
ln 3x + 4
e
ln 2x + 5
στο διάστημα
2
,
3
é
ö +¥ ÷
êë
ø
.
γ.
N
α δείξετε ότι η εξίσωση
( )
1
f x x
-
=
, έχει μοναδική λύση.
δ.
Δίνεται επιπλέον η συνάρτηση
( )
x
F x e lnx 1 x
= + -
,
³
x 1
.
Να δείξετε ότι
(
)
(
)
(
) ( )
1
1
f
F x 1 f x 2 F x
-
-
- + < + -
για κάθε
³
x 1
.
Δίνεται η συνάρτηση
( )
2017
f x x lnx
= +
,
x 0
>
.
α.
Να δείξετε ότι η
f
αντιστρέφεται.
β.
Να λύσετε την εξίσωση
(
)
(
)
2
2017
2017
2
2
2
x 2
2x 4 x 5
x 2 ln
2x 4 x 5
+
- + - + =
- +
.
γ.
Αν
( )
(
)
1
f g x x 2 1
-
- + =
για κάθε
x 0
³
να βρείτε
τον
τύπο της
[
)
g : 0,
+¥ ®
και να δείξετε ότι η
g
είναι γνησίως αύξουσα.