311 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
310
Θέμα
47
Θέμα
48
Θέμα
49
Δίνεται η συνάρτηση
( )
+
=
x
x
α β
f x ln
2
, όπου
< ¹
0
α, β 1
και
α β.
¹
Α.
Να αποδείξετε ότι η
f
είναι κυρτή.
Β.
Δίνεται επιπλέον ότι η ευθεία
y x
=
είναι εφαπτομένη της
f
C
στο
( )
Ο 0,0
.
α.
Να αποδείξετε ότι
+ - ³
x
x
x
α β 2e 0
για κάθε
Î
x
.
β
.
Να αποδείξετε ότι
2
αβ e
=
.
γ
.
Να αποδείξετε ότι
η εξίσωση
( )
( ) ( )
(
)
2
x
f
α f β
f
αβ e 0
e e x 1
æ
ö
+
- =
ç
÷
- +
è
ø
έχει ακριβώς
μία ρίζα στο
(
)
–1,1 .
Δίνεται η συνάρτηση
( )
x
2
f x e x x
= + +
,
x
Î
.
α
.
Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα
(
)
0
x
1,0
Î -
τέτοιο ώστε
( )
0
f x 0
¢
=
και ότι
( )
0
2
0
0
f x x x 1
= - -
.
β
.
Να αποδείξετε ότι
( ) ( )
0
f x f x
³
, για κάθε
x
Î
.
γ
.
Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης
( )
2016f x 4032 0
+ =
στο
.
δ
.
Να αποδείξετε ότι
(
) (
) ( ) (
)
2
2
2
2
f x 1 f x 2 f x f x 3
+ + + < + +
, για κάθε
x
Î
.
ε
.
Δίνεται επιπλέον
ένα σημείο
( ) ( )
(
)
Μ x t ,y t
το οποίο διατρέχει τη γραφική
παράσταση της
f
. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του τη
στιγμή που βρίσκεται στη θέση
0
x
του ερωτήματος
α
.
Δίνεται η δύο φορές παραγώγισιμη συνάρτηση
(
)
f : 0,
+¥ ®
για την οποία
ισχύει
( ) ( )
xf x f x 1 lnx
¢¢
¢+ = +
για κάθε
x 0
>