312 / 368
311
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Θέμα
50
Θέμα
51
Δίνεται επιπλέον
ότι η ευθεία
(ε) με εξίσωση
2x y 2 0
- - =
εφάπτεται της
f
C
στο σημείο
( )
(
)
1,f 1
.
α.
Να δείξετε ότι
( )
f x xlnx 2lnx x 1
= + - +
,
x 0
>
.
β.
Να δείξετε ότι ο y΄y είναι ασύμπτωτη της
f
C
¢
.
γ.
Να βρείτε τα σημεία καμπής της
f
C
.
δ
.
Να λύσετε την εξίσωση
( )
f x 0
=
.
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση
f :
®
η οποία είναι κοίλη στο
και
ισχύουν
( )
2x
x 0
f x e
lim
3
x
®
-
= -
και
( )
f 1 1
- =
.
Α
.
Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της
f
C
στο σημείο της
( )
(
)
0,f 0
.
Β
.
Να δείξετε ότι
( )
f x x 1 0
+ - £
,
για κάθε
x
Î
.
Γ
.
Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό
(
)
ξ 1,0
Î -
στο οποίο η f παρουσιάζει μέγι-
στο
.
Δ
.
Αν επιπλέον
( )
f 3 10
=
,
( )
f 3 9
¢
>
και
f
¢
είναι συνεχής στο
.
α.
Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον
( )
0
x 0,3
Î
τέτοιο, ώστε
( )
2
0
0
f x x
¢
=
β.
Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον
( )
ρ 0,3
Î
τέτοιο ώστε
( )
f
ρ 3ρ
¢
=
.
Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση
f :
®
με
( )
[
]
f
2,3
= -
.
Α
.
Να αποδείξετε ότι υπάρχουν
1 2
x , x
Î
τέτοια ώστε
( ) ( )
1
2
f x f x 0
¢
¢= =
.