316 / 368
315
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Θέμα
57
Θέμα
58
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση
f :
®
με συνεχή παράγωγο στο
για
την οποία ισχύει
( ) ( )
( )
1
x
0
f x f x f x e dx x
-
¢
¢
= +
+
ò
για κάθε
x
Î
.
Aν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο
0
x 0
=
α
.
Να δείξετε ότι
( )
x
1
f x e x 1
e
= - - -
.
β
.
Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό
ξ 0
>
τέτοιο ώστε
( )
f
ξ 0
=
.
γ
.
Nα βρείτε, αν υπάρχουν
,
τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f.
δ.
Nα σχεδιάσετε
τη γραφική παράσταση της f .
ε.
Να βρείτε
το πλήθος των ριζών της εξίσωσης
( )
f x
α
=
για τις διάφορες τιμές
της πραγματικής παραμέτρου α
.
Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις
f :
®
και
g :
®
τέτοιες ώστε:
●
( )
g 0 1
=
●
( )
( )
2
f x g x 0, x
¢
= ¹ Î
●
( )
( )
2
2
f x g x 1, x
+ = Î
A.
α
.
Να αποδείξετε ότι
( )
( ) ( )
g x g x f x , x
¢
= -
Î
β.
Να αποδείξετε ότι η g είναι γνησίως μονότονη σε κάθε ένα από τα
δια-
στήματα
(
]
, 0
-¥
,
[
)
0,
+¥
και έχει ακρότατο το 1.
Β. α
.
Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και να βρείτε τα σημεία κα-
μπής της
f
C
.
β.
Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτομένης της
f
C
στο σημείο
( )
Ο 0,0
.
Γ.
Αν Ε είναι το εμβαδό του χωρίου Ω που ορίζεται από τη
f
C
και τις ευθείες
y x
=
και
x 1
=
, να αποδείξετε ότι
( )
1
E lng 1
2
= +
.