320 / 368
319
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Θέμα 65
β.
Να βρείτε το σύνολο τιμών της
f
και να δείξετε ότι η εξίσωση
( )
- =
f x 2017 0
έχει ακριβώς δύο ρίζες ετερόσημες
.
γ
.
Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό
[ ]
Î
ξ 0,1
τέτοιο ώστε
( )
æ
ö æ
ö
=
+
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
12
1
3f
ξ f
2f
2016
2017
δ
.
Να δείξετε ότι η εξίσωση
( )
( )
+
+
+
=
-
-
f
κ 1 f λ 1
0
x 1 x 2
έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο
διάστημα
( )
1,2
για κάθε
(
) (
)
Î - È +¥
κ,λ 1,0 0,
.
ε.
Δίνεται επιπλέον η συνάρτηση
( ) ( )
=
g x f x
,
[
)
Î +¥
x 0,
.
Να δείξετε ότι η
g
αντιστρέφεται και να λύσετε την εξίσωση
( ) ( )
-
=
1
g x f x
για
³
x 0
Δίνεται η συνάρτηση
( )
-
+ - +
=
2
x
x
ln
λ λ
e
x
2
λ
f x e
με
>
λ 0
Α.
Να δείξετε ότι η
f
είναι γνησίως φθίνουσα στο
(
]
-¥
,0
και γνησίως αύξουσα
στο
[
)
+¥
0,
.
Β.
Να βρείτε την τιμή του λ ώστε η ελάχιστη τιμή της
f
να γίνεται μέγιστη.
Γ
.
Αν
=
λ 1
α
.
Να δείξετε ότι η
f
είναι κυρτή και να λύσετε στο
R
την εξίσωση
+ - -
+ - -
+ -
+ -
=
2
2
4 2
7x
x
2
x
2
7x
49x
x
e
7x 1
e
x 1
2
2
e x 1 e 7x 1
e
e
β
.
Να δείξετε ότι
( )
( )
¢
¢
<
x
x
f 1
f e
e
για κάθε
<
x 0