303 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
302
Θέμα
32
***
Θέμα
31
Δίνεται η συνάρτηση
( )
2
x
f x 2lnx
αx
2
= - +
,
x 0
>
και
Î
α
για την οποία ισχύει
ότι
( ) ( )
f x f 1
£
για κάθε
x 0
>
α.
Να δείξετε ότι
α 1
= -
.
β
. Να μελετήσετε την
f
ως προς
τη μονοτονία ,
τα ακρότατα και την κυρτότητα.
γ.
Να βρείτε
το πλήθος των ριζών της εξίσωσης
1
x 2 3
x
4 2x
x e
, x 0
+
-
=
>
δ.
Να βρείτε
την
εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης
της
f
στο
( )
(
)
Α 2,f 2
και να δείξετε ότι
- + £
2
x
2lnx
x 2ln2
2
για κάθε
x 0
>
.
Δίνεται συνάρτηση
f
με τύπο
( )
2
x
f x
x 2lnx , x 0
2
= + -
>
.
Α
.
Να μελετήσετε την συνάρτηση
f
ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα στο
πεδίο ορισμού της.
Β
.
Να δείξετε ότι
( )
2f x 3 0
- ³
για κάθε
(
)
x 0,
Î +¥
.
Γ
.
Δίνεται η συνάρτηση
( )
2
2
x
g x
x ln x
4
= + -
,
x 0
>
.
α
.
Να δείξετε ότι
( ) ( )
f x
g x
x
¢
=
για κάθε
x 0
>
.
β
.
Να δείξετε ότι η συνάρτηση
g
αντιστρέφεται και να υπολογίσετε το εμ-
βαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της
1
g
C
-
,
του άξονα των
x
΄
x
και των ευθείων
( )
=
1
5
ε : x
4
,
( )
= + -
2
2
e
ε : x
e 1
4
,
αν θεωρήσουμε πως η
1
g
-
είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της.