298 / 368
297
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Θέμα
23
Θέμα
24
Δίνεται η συνάρτηση
( )
3x
3
f x e x 1
= - - +
.
α.
Να μελετήσετε την
f
ως προς την μονοτονία και να βρείτε τις ρίζες και το
πρόσημό της.
β.
Να εξετάσετε αν υπάρχει το όριο
( )
( )
x 0
f x 1
lim
f x
®
-
.
γ.
Να αποδείξετε ότι η
f
αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της
1
f
-
.
δ.
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση
3x 3
e x 2015
e
1
- - -
=
, έχει μοναδική ρίζα.
ε.
Δίνεται επιπλέον η συνάρτηση
(
)
g : 0,
+¥ ®
για την οποία ισχύει ότι:
( )
( )
(
)
3
3g x
3
3 6
e g x x e lnx 2
+ = + +
για κάθε
x 0
>
.
Να αποδείξετε ότι
( )
g x lnx 2
= +
και να βρείτε την αντίστροφη της
g.
Δίνονται τα σημεία
(
)
Α 2x,0
και
(
)
x
Β 0,xe
με
x 0
¹
.
Δίνεται επίσης ότι
( )
Ε x
είναι η συνάρτηση που εκφράζει το εμβαδόν του τρι-
γώνου ΟΑΒ, με
( )
Ο 0,0
.
α
.
Να δείξετε ότι
( )
2 x
Ε x x e
=
με
x 0
¹
.
β.
Να μελετήσετε την Ε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
γ.
Να μελετήσε την Ε ως προς τη κυρτότητα.
δ.
Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται μεταξύ της
E
C
,
του άξονα
x x
¢
και των ευθειών
( )
1
ε : x 1
=
,
( )
2
ε : x 2
=
.
ε.
Δίνεται επιπλέον
( )
Μ x,y
με
x 0
>
ένα σημείο που κινείται στη
E
C
ώστε ο
ρυθμός μεταβολής της τεταγμένης του να ισούται με
μον
21e
sec
.
N
α βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τετμημένης του Μ τη χρονική στιγμή
που το Μ διέρχεται από το σημείο
( )
Γ 1,e
.