Μαθηματικά Γ' Λυκείου

297 / 368

Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
296
Θέμα 21
Θέμα 22
Δίνεται η συνάρτηση
( )
2
x αx 5 ,x 2
f x
αx β ,x 2
ì - + £
ï
= í
+ > ïî
, με α,βÎ .
α. Να βρείτε την σχέση που συνδέει τις παραμέτρους α και β ώστε η f να εί-
ναι συνεχής στο .
β. Να υπολογίσετε τις παραμέτρους α και β ώστε η f να είναι παραγωγίσιμη
στο 0 x 2= .
Δίνεται επιπλέον ότι ( )
2
x 2x 5 ,x 2
f x
2x 1 ,x 2
ì - + £
ï
= í
+ >
ïî
.
γ. Να υπολογίσετε το
( ) ( ) ( )
( ) ( )
x x 1 2x 1
x x 2
x
f 2 f 0 f 3
lim
f 0 f 4
+ +
+
®+¥
- +
+
.
δ. Να δείξετε ότι υπάρχει ( )
ξ 1,2Î τέτοιο ώστε
( ) 4 5
3f ξ f 2f
3 3
æ ö æ ö
= + ç ÷ ç ÷
è ø è ø
.
Δίνονται οι συναρτήσεις
( )
x 1
e 1
, x 1
f x x 1
1 , x 1
- ì -
¹ ï
= - í
ï =
î
και ( ) ( ) x 1
g x x 2 e 1- = - + , x Î .
α. Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής.
β. Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο
0 x 1= και να βρείτε την εξίσωση
της εφαπτομένης της
f C στο σημείο ( ) ( )
Α 1,f 1 .
γ. Να δείξετε ότι ( )
g x 0³ για κάθε x Î και ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
στο .
δ. Να δείξετε ότι ( ) 2017
2016
g x dx 0> ò .