292 / 368
291
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Θέμα
10
Θέμα
11
Δίνεται η συνάρτηση
( )
= - + + Î
3
2
f x x
κx 9x 3, x
,
Î
κ
της οποίας η γραφική
παράσταση διέρχεται από το σημείο
( )
Α 2,5
.
α.
Να δείξετε ότι
=
κ 6
.
β
.
Να μελετήσετε την
f
ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και να βρείτε το
πλήθος των ριζών της εξίσωσης
( )
=
f x 0
.
γ.
Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης
( )
1
ε
της γραφικής παράστασης της
f
στο σημείο σημείο
( )
(
)
Β 0,f 0
και να αποδείξετε ότι η
( )
1
ε
εφάπτεται και
της γραφικής παράστασης της συνάρτησης
( )
= + + Î
2
g x x 7x 4, x
.
δ
.
Να υπολογίσετε το
( )
(
)
x
x
lim e g x
®-¥
×
όπου
g
η συνάρτηση από το ερώτημα
γ.
Δίνεται η συνάρτηση
( )
= + - Î
3
2
f x x 3x
κ, x
,
Î
κ
.
α.
Να μελετήσετε τη συνάρτηση
f
ως προς τη μονοτονία και να δείξετε ότι δεν
υπάρχει τιμή του κ ώστε η
f
να έχει τοπικό ελάχιστο ίσο με το τοπικό μέγι-
στο.
β
.
Να μελετήσετε την
f
ως προς την κυρτότητα και να βρείτε τα σημεία καμπής.
γ.
Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης
( )
=
f x 0
για τις διάφορες τιμές
του πραγματικού αριθμού κ
.
δ
.
Για
=
κ 0
δίνεται το ορθογώνιο παραλ-
ληλόγραμμο του διπλανού σχήματος.
Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του εμβαδού
του ορθογωνίου παραλληλόγραμμου
για
(
)
Î -
x 3,0
.