288 / 368
287
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Θέμα
2
Θέμα
1
Δίνονται οι συναρτήσεις
( )
3
4x 4 2
, x 2
f x
x 2
x x 9 , x 2
ì - -
>
ï
= - í
ï + -
£
î
και
( )
2
x 1 , x 3
g x
x 2x , x 3
-
<
ìï
= í
-
³
ïî
α.
Να βρείτε
,
εάν υπάρχει, το
( )
x 2
limf x
®
.
β.
Να βρείτε, εάν υπάρχουν
,
τα
( )
x 3
limg x
®
και
( )
x 2
limg x
®
.
γ.
Να δείξετε ότι
( )
( )
( ) ( )
( )
(
)
( )
(
)
x 1
x 5
f x 7
lim lim g x f x g g 3 f 3f 5 1 1
g x
®
®
+
+ é
ù = - - -
- -
ë
û
δ.
Αν επιπλέον
(
)
x
,0
Î -¥
να βρείτε το πεδίο ορισμού και τον τύπο της
f g
.
Δίνεται η συνάρτηση
( )
2
2
αx ημx
, x 0
2x x
f x
β, x 0
4x 11x 49 2x, x 0
+
ì
<
ï
-
ï
=
=
í
ï
+ + - >
ï
î
με
Î
α,β
η οποία είναι συνεχής στο
0
x 0
=
.
α.
Να δείξετε ότι
α 13
=
και
β 7
=
.
β.
Να υπολογίσετε το
( )
x
lim f x
®+¥
.
γ.
Να υπολογίσετε το
2
x
ημx
lim
x
®-¥
και το
( )
x
lim f x
®-¥
.
Δίνεται επιπλέον η συνάρτηση
( ) (
) ( )
g x x 2 f x
= -
με
π
x
,0
2
æ
ö
Î -ç
÷
è
ø
.
δ.
Να δείξετε ότι ισχύει
( )
g x 0
¢
<
για κάθε
π
x
,0
2
æ
ö
Î -ç
÷
è
ø
.