289 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
288
Θέμα
3
Θέμα
4
Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση
®
f :
με
( )
=
f
της οποία η
γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία
( )
Α 1,3
και
( )
Β 3,1
.
α.
Να δείξετε ότι η συνάρτηση
f
είναι γνησίως φθίνουσα
.
β.
Να δείξετε ότι η συνάρτηση
f
αντιστρέφεται και ότι οι γραφικές παραστάσεις
των
-
1
f , f
τέμνονται τουλάχιστον σε δύο σημεία εκτός της ευθείας
y x
=
.
γ.
Να λύσετε
την εξίσωση
(
)
(
)
1
2
f f x 1 2 1
-
- + =
.
δ.
Να λύσετε την ανίσωση
( )
(
)
(
)
1
1
f f lnx f 1 x 1 3
-
-
- - + <
.
Δίνονται οι συναρτήσεις
f, g:
®
για τις οποίες ισχύουν
·
( )
- £
2
f x
ημx x
(1)
για κάθε
Î
x
·
( )
x 1
g x 1
lim 1
x 1
®
-
=
-
α.
Να δείξετε ότι η συνάρτηση
f
είναι συνεχής στο 0.
β.
Να δείξετε ότι η συνάρτηση
f
είναι παραγωγίσιμη στο 0 και να βρείτε την
( )
¢
f 0
.
γ.
Να βρείτε, εφόσον υπάρχει, το όριο
(
)
( )
( ) ( )
( )
®
×
+
-
×
- + × -
2
2
2
x 0
x f 1010x 1009
ημ x f x
lim
4f x f 2x 2x 5x f x
δ.
Να βρείτε, εφόσον υπάρχει,
το όριο
(
)
®
-
-
h 0
g 1 2017h 1
lim
h