284 / 368
283
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Δ3.
i)
Έστω τα σημεία
( )
(
)
1
A x,f x
-
και
( )
(
)
1
B f x ,x
-
Γνωρίζουμε ότι
( )
(
)
1
f f x x
-
=
για κάθε
x
Î
και επιπλέον η συνάρτηση
f
είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της.
Κατά συνέπεια
( )
(
)
(
)
( )
( )
(
)
( )
(
)
1
1
1
f f x
x f f x f x 1
-
-
-
¢
¢
¢
¢
= Û ×
=
Αλλά το
( )
(
)
1
f f x
-
¢
είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της
f
στο σημείο
( )
(
)
1
B f x ,x
-
και το
( )
(
)
1
f x
-
¢
ο συντελεστής διεύθυνσης της
εφαπτομένης της
1
f
-
στο σημείο
( )
(
)
1
A x,f x
-
οπότε και αποδείχθηκε το
ζητούμενο.
ii)
Η απόσταση των σημείων
( )
(
)
1
A x,f x
-
και
( )
(
)
1
B f x ,x
-
είναι:
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
2
2
2
1
1
1
1
AB x f x
f x x
2 f x x
2 f x x
-
-
-
-
= -
+
- =
- =
-
Στο ερώτημα
Δ2,
όμως είδαμε ότι
( )
1
f x x 3
-
³ +
αφού
1
f
-
κυρτή στο πεδίο
ορισμού της και
y x 3
= +
εφαπτομένη της
1
f
-
στο σημείο
( )
M 0,3
.
Επομένως
( )
1
f x x 3 x
-
³ + >
και άρα
( )
(
)
1
AB 2 f x x
-
=
-
Θεωρούμε τη συνάρτηση
( )
( )
(
)
1
g x 2 f x x
-
=
-
με
x
Î
.
Θα εξετάσουμε τη
g
ως προς τα ακρότατα.
Είναι :
( )
( )
(
)
(
)
( )
(
)
1
1
g x
2 f x x
2 f x
2
-
-
¢
¢
¢
=
- =
-
(
)
(
)
(
)
x 2
x 2
2 e x 2x 3 2 2e x 1 2
¢
=
- + - =
+ -
Υπολογίζουμε στη συνέχεια τις ρίζες της
( )
g x
¢
:
( )
(
)
x 2
g x 0 2 e x 1 2 0
¢
= Û + - =