282 / 368
281
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Είναι
( )
f x 0
¢
>
για κάθε
x A
Î
και επομένως η συνάρτηση
f
είναι γνησίως
αύξουσα στο πεδίο ορισμού της, επομένως και ‘’1
-
1’’,άρα αντιστρέφεται.
Θέτουμε
( )
f x y
=
στη σχέση
( )
( )
( )
(
)
f x 2
e f x 2f x 3 x
- + =
και έχουμε :
(
)
y 2
e y 2y 3 x
- + =
, έτσι
( )
1
f
f A
D
-
= =
.
Επιπλέον
( )
( )
1
f x y x f y
-
= Û =
οπότε
(
)
( )
y 2
1
e y 2y 3 f y
-
- + =
,
y
Î
ή
( )
(
)
1
x 2
f x e x 2x 3
-
= - +
,
x
Î
Δ2.
H
1
f
-
είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της με :
( )
(
)
(
)
(
)
( ) (
)
(
)
1
x 2
x
2
x 2
f x
e x 2x 3 e x 2x 3 e x 2x 3
-
¢
¢
¢
¢ =
- + =
- + + - +
(
)
(
)
(
)
x 2
x
x 2
e x 2x 3 e 2x 2 e x 1
= - + + - = +
Στη συνέχεια βρίσκουμε την
( )
(
)
1
f x
-
¢¢
:
( )
(
)
(
)
(
)
( ) (
)
(
)
(
)
1
x 2
x
2
x 2
x 2
x
f x
e x 1 e x 1 e x 1 e x 1 e 2x
-
¢
¢
¢
¢¢ =
+ =
+ + + = + + ×
(
)
2
x
e x 1 0 , x
= + ³ Î
Είναι
( )
(
)
1
f x 0
-
¢ >
για κάθε
{ }
x
1
Î - -
,άρα η
( )
1
f
-
¢
είναι γνησίως αύξου-
σα στο
και επομένως η
1
f
-
κυρτή στο
.
Βρίσκουμε στη συνέχεια το σημείο τομής της
1
f
C
-
με τον
y y
¢
:
Για
x 0
=
,
( )
(
)
1
0 2
f 0 e 0 2 0 3 3
-
= - × + =
Στο σημείο τομής
( )
M 0,3
η εξίσωση της εφαπτομένης
της
1
f
C
-
είναι :
( )
( )
(
)
(
)
(
)
1
1
0 2
y f 0 f 0 x 0 y 3 e 0 1 x y 3 x y x 3
-
-
¢
- =
- Û - = + × Û - = Û = +
Για το ζητούμενο εμβαδόν έχουμε
( ) (
)
1
1
0
E f x x 3 dx
-
=
- +
ò
και επειδή
1
f
-
κυρτή στο
η γραφική παράσταση της εφαπτομένης της
1
f
-
βρίσκεται κά-
τω από την
1
f
C
-
με εξαίρεση το σημείο επαφής Μ, επομένως
( )
1
f x x 3 , x
-
³ + Î