279 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
278
Από το Θεώρημα Μέσης Τιμής υπάρχει τουλάχιστον ένα
( )
ξ 0,1
Î
τέτοιο,
ώστε:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f 1 f 0
f
ξ
f 1 f 0 f 0
1 0
-
¢
¢
=
= - >
-
Όμως
( )
( ) ( )
( ) ( )
f
ξ 0,1 0 ξ 1 f 0 f ξ f ξ f 0
¢
¢
¢
¢
¢
Î Û < < Û > Û <
2
Άτοπο.
Άρα
( )
f x 0
¢
>
, για κάθε
x
Î
οπότε
f
κυρτή στο
.
Δ3.
Η
g
είναι συνεχής στο
ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων (
( )
f x
συνε-
χής, αφού είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη και
x
πολυωνυμική).
Επιπλέον, η
g
είναι παραγωγίσιμη στο
με
( ) ( )
g x f x 1
¢
¢= -
.
Είναι
( ) ( )
g 0 f 0 1 1 1 0
¢
¢= - = - =
.
Αφού
f
κυρτή στο
,έχουμε ότι η
f
΄ είναι γνησίως αύξουσα στο
.
Έτσι, λοιπόν, είναι:
( ) ( )
( )
( )
f
x 0 f x f 0 1 f x 1 0 g x 0
¢
¢
¢
¢
¢
> Û > = Û - > Û >
1
( ) ( )
( )
( )
f
x 0 f x f 0 1 f x 1 0 g x 0
¢
¢
¢
¢
¢
< Û < = Û - < Û <
1
Από τον πίνακα μεταβολών έχουμε ότι η
g
παρουσιάζει ολικό ελάχιστο
στο
0
x 0
=
με τιμή:
( ) ( )
g 0 f 0 0
= =
.
Έτσι, λοιπόν,
( )
( )
x 0
x 0
ημx
ημx 1
lim lim
x g x
x g x
®
®
æ
ö
=
×
= +¥
ç
÷
ç
÷
×
è
ø
Αφού
g
παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο
0
x 0
=
, έχουμε ότι για κάθε
x
Î
είναι
( )
g x 0
³
με το «=» μόνο για
x 0
=
, άρα
( )
g x 0
>
για κάθε
x
κοντά
στο 0.
x
-
¥
0
+
¥
( )
g x
¢
-
+
g
>
1