280 / 368
279
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Δ4.
Έχουμε
( )
g x 0
³
για κάθε
x
Î
με το «=» μόνο για
x 0
=
,άρα
( )
( )
f x x f x x 0
³ Û - ³
με το «=» μόνο για
x 0
=
.
Άρα
( )
(
)
( )
( )
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
x
f x x dx 0 f x dx xdx
f x dx
2
é ù
- > Û > Û > ê ú
ë û
ò
ò
ò
ò
( )
2
0
4 0
f x dx
2 2
Û > -
ò
( )
2
0
f x dx 2
Û >
ò
Δ5.
Έχουμε :
( )
( )
1
1
1
0
0
0
5
5
g x dx e
f x dx xdx e
2
2
= - Û - = -
ò
ò
ò
( )
1
2
1
0
0
x
5
f x dx
e
2
2
é ù
Û - = -
ê ú
ë û
ò
( )
( )
1
1
0
0
1 5
f x dx
e
f x dx e 2
2 2
Û - = - Û = -
ò
ò
Θεωρούμε τη συνάρτηση
( )
( )
x
0
b x f t dt 2
=
-
ò
με
b
D
=
·
b
συνεχής στο [1,2] ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων (
-2
συνεχής ως σταθερή,
f
συνεχής στο
και
0
Î
, άρα
( )
x
0
f t dt
ò
παραγωγίσιμη στο
,οπότε και συνεχής στο
)
·
( )
( )
1
0
b 1 f t dt 2 e 4 0
=
- = - <
ò
και
( )
( )
2
0
b 2 f t dt 2 0
=
- >
ò
Σύμφωνα με το θεώρημα
Bolzano
υπάρχει τουλάχιστον ένα
( )
ξ 1,2
Î
τέ-
τοιο ώστε:
( )
( )
ξ
0
b
ξ 0 f t dt 2
= Û =
ò
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση
(
)
f :
Α ,Α 0,
® = +¥
με σύνολο τιμών
( )
f A
=
τέτοια, ώστε
( )
( )
( )
(
)
f x 2
e f x 2f x 3 x
- + =
Δ1.
Nα αποδείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται (μονάδες 4)
ΘΕΜΑ Δ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014