276 / 368
275
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
β.
Αφού για την
g
ισχύει το Θεώρημα
Rolle
, συμπεραίνουμε ότι υπάρχει
( )
ξ 0,2
Î
τέτοιο, ώστε:
( )
( )
( )
( )
2
ξ
f
ξ 4f ξ 4f ξ
g
ξ 0 6ξ
0
e
¢
¢ - +
¢
= Û -
=
( )
( )
( )
2
ξ
6
ξe f ξ 4f ξ 4f ξ 0
¢
¢
Û - + - =
( )
( )
( )
2
ξ
f
ξ 4f ξ 4f ξ 6ξe
¢
¢
Û + = +
(1)
γ.
Ισχύει ότι
( )
( )
( )
2x
f x 4f x 4f x kxe
¢
¢ - + =
(2)
για κάθε
[ ]
x 0,2
Î
Η
(2)
για
x
ξ
=
δίνει ότι:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
2
ξ
2ξ
2ξ
f
ξ 4f ξ 4f ξ kξe 6ξe 4f ξ 4f ξ kξe
¢
¢
¢
¢
- + = Û + - =
2
ξ
2ξ
6
ξe kξe k 6
Û = Û =
.
Για
k 6
=
έχουμε ότι:
( )
( )
( )
( )
2x
2x
2x
f x 4f x 4f x
6xe
g x 6x
6x
e
e
¢
¢ - +
¢
= -
= -
( )
( )
( )
g x 6x 6x g x 0 g x c
¢
¢
Û = - Û = Û = Î
(3)
Για
x 0
=
από την
(3)
προκύπτει ότι
c 0
=
.
Τελικά, λοιπόν, έχουμε ότι
( )
g x 0
=
για κάθε
[ ]
x 0,2
Î
.
δ.
Επιπλέον ισχύει :
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2x
2x
2
2
2
2x
2x
f x 2f x
e f x 2e f x
g x 0 3x
0 3x
0
e
e
¢
¢
-
-
= Û -
= Û -
=
( )
( )
( )
( )
2x
2x
2
2
2x
e f x e f x
3x
0
e
¢
¢
-
Û -
=
( )
3
1
2x
f x
x
c
e
Û - =
Î
(4)
Για
x 1
=
από την
(4)
προκύπτει ότι
( )
2
1
1
1
2
2
f 1
e
1
c c 1
c 0
e
e
- = Û = - Û =
Άρα
είναι:
( )
( )
( )
3
3 2x
3 2x
2x
f x
x
0 x e f x 0 f x x e
e
- = Û - = Û =