Μαθηματικά Γ' Λυκείου

278 / 368

277
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
της συνάρτησης g, τον άξονα x΄x και τις ευθείες με εξίσωση x 0= και x 1=
είναι ( ) 5
E Ω e
2
= - , τότε να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
( ) 1
0
f x dx ò
και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι υπάρχει ( )
ξ 1,2Î τέτοιο, ώστε
( ) ξ
0
f t dt 2= ò
(Μονάδες 6)
Απάντηση:
Δ1. Έστω ( ) ( )
Α 0,f 0 το σημείο επαφής. Οπότε ( ) ( ) ( )
Α ε : y f 0 f 0 x¢ - = .
Για x κοντά στο 0 θεωρούμε τη συνάρτηση
( ) ( ) ( ) ( ) f x
h x f x xh x
x
= Û = με ( ) ( ) ( )
x 0 x 0
f x
limh x lim 1+f 0
x ® ®
= =
Οπότε ( ) ( )
x 0 x 0
limf x lim xh x 0
® ®
= é ù = ë
û και αφού f τρεις φορές παραγωγίσιμη στο
, θα είναι και συνεχής στο άρα θα είναι συνεχής και στο 0 x 0= .
Έτσι λοιπόν ( ) ( )
x 0
f 0 limf x 0
®
= =
Επιπλέον ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x 0 x 0
f x f 0 f x
f 0 lim lim 1 f 0 1
x x ® ®
-
¢ = = = + =
Τελικά ( )Α
ε : y x=
Δ2. Αφού f ¢¢ συνεχής στο και ( )
f x 0¢ ¹ για κάθε x Î ,συμπεραίνουμε ότι
η f¢¢ θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο .
Ας υποθέσουμε ότι ( )
f x 0¢ < για κάθε x Î οπότε η f¢ είναι γνησίως φθί-
νουσα στο .
Έτσι λοιπόν
• Η f είναι συνεχής στο [ ]0,1
• Η f είναι παραγωγίσιμη στο ( )0,1