273 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
272
β.
Έστω
x
Î
. Έχουμε:
( ) (
)
(
) ( )
h 0
h 0
g x g x h
g x h g x
lim
lim
h
h
®
®
¢
¢
¢
¢
- -
é
- - ù
= -ê
ú
ë
û
Θέτουμε
h u h u
- = Û = -
και
( )
0
h 0
lim h 0 u
®
- = =
άρα
u 0
®
έτσι το όριο γίνε-
ται:
( ) (
)
(
) ( )
h 0
u 0
g x g x h
g x u g x
lim
lim
h
u
®
®
¢
¢
¢
¢
- -
é
+ - ù
= -
=
ê
ú
-
ë
û
(
) ( )
( )
u 0
g x u g x
g x
lim
u
®
¢
¢
+ -
¢¢ =
αφού η g από υπόθεση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη.
γ.
i)
Είναι:
(
)
( ) (
)
(
)
( ) (
)
0
0
2
2
D.L.H.
h 0
h 0
g x h 2g x g x h
g x h 2g x g x h
lim
lim
h
(h )'
æ ö
ç ÷
è ø
®
®
¢
é + - + - ù
+ - + -
ë
û
=
(
) (
)
(
) (
)
h 0
h 0
g x h g x h
g x h g x h
1
lim
lim
2h
2
h
®
®
¢
¢
¢
¢
+ - -
+ - -
=
= ×
(
) ( ) (
)
( )
h 0
g x h g x g x h g x
1
lim
2
h
®
¢
¢
¢
¢
é + - - - + ù
= ×
ê
ú
ë
û
(
) ( )
( ) (
)
h 0
g x h g x g x g x h
1
lim
2
h
h
®
¢
¢
¢
¢
é + -
- - ù
= ×
+
ê
ú
ë
û
( )
( )
( )
( )
(
β)
1
1
g x g x
2 g x g x
2
2
¢¢
¢¢
¢¢
¢¢
= × é
+ ù = × ×
=
ë
û
Οπότε
( ) ( )
( )
(
)
3
g x f x 45 g x 20x 6x 45 45
¢¢
¢¢
= + Û = + - +
( )
3
g x 20x 6x
¢¢Û = +
( )
(
)
4
2
x x
g x
20 6
4 2
¢
æ
ö
¢
¢Û =
+ ç
÷
è
ø
για κάθε
x
Î
Άρα
( )
4
2
1
g x 5x 3x c
¢
= + +
με
1
c
Î
Για
x 0
=
έχουμε:
( )
1
g 0 c 1
¢
= =
.
Οπότε,
( )
( )
5
3
4
2
x x
g x 5x 3x 1 g x 5 3 x
5 3
¢
æ
ö
¢
¢
= + + Û = + +
ç
÷
è
ø
για κάθε
x
Î
Άρα
( )
5 3
2
g x x x x c
= + + +
με
2
c
Î