271 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
270
Οπότε ,
(
)
0
0
1
D.L.H.
θ 0
θ 0
ln 1
θ
1
lim
lim
1
θ
1 θ
+
+
æ ö
ç ÷
è ø
®
®
é + ù
æ
ö
=
=
=
ê
ú
ç
÷ +è
ø
ë
û
γ.
Αφού η
f
είναι γνησίως φθίνουσα στο
(
)
0,
+¥
και συνεχής θα είναι:
( )
(
)
(
)
( )
( )
(
)
x
x 0
f A f 0,
lim f x , lim f x
+
®+¥
®
= +¥ =
με
( )
(
) (
)
(
)
( )
x 0
x 0
lim f x lim xln x 1 x 1 lnx 0 ln1 1
+
+
®
®
=
+ - +
= ×
- -¥ = +¥
( )
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
x
x
x
lim f x lim xln x 1 x 1 lnx lim xln x 1 xlnx lnx
®+¥
®+¥
®+¥
=
+ - + =
+ - - =
(
)
(
)
x
x
x 1
lim x ln x 1 lnx lnx lim xln
lnx
x
®+¥
®+¥
é
ù
+æ
ö
é
ù
=
+ - - =
- =
ç
÷
ê
ú
ë
û
è
ø
ë
û
( )
x
1
lim xln 1
lnx 1
x
®+¥
é
ù
æ
ö
=
+ - = - +¥ = -¥
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
Οπότε
( ) (
)
f A
,
= -¥ +¥ =
και επειδή
( )
0 f A
Î
,συμπεραίνουμε ότι η εξί-
σωση
( )
f x 0
=
έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο
(
)
0,
+¥
.
Όμως
f
είναι 1
-
1 άρα η εξίσωση
( )
f x 0
=
θα έχει το πολύ μια πραγματική ρί-
ζα.
Τελικά η εξίσωση
( )
f x 0
=
έχει ακριβώς μία ρίζα στο
(
)
0,
+¥
δηλαδή υπάρ-
χει μοναδικός αριθμός
(
)
α 0,
Î +¥
τέτοιος ώστε:
( )
(
) (
)
(
) (
)
f
α 0 αln α 1 α 1 lnα 0 αln α 1 α 1 lnα
= Û + - + = Û + = + Û
(
)
(
)
α
α
α 1
α 1
ln
α 1 lnα α 1 α
+
+
Û + = Û + =