266 / 368
265
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Η
είναι παραγωγίσιμη στο
ως διαφορά
παραγωγίσιμων συναρτήσεων,
με
( )
(
)
2
2 1
f x
0
x
x 1
é
ù
¢
= -
+ <
ê
ú
- ê
ú
ë
û
για κάθε
f
x D
Î
.
Άρα η
είναι γνησίως φθίνουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα
( )
1
Δ 0,1
=
και
(
)
2
Δ 1,
= +¥
Επειδή τώρα
( )
x 0
lim f x
+
®
= +¥
,
( )
x 1
lim f x
-
®
= -¥
και η συνεχής και γνησίως φθί-
νουσα στο
( )
1
Δ 0,1
=
προκύπτει:
( )
( )
( )
(
)
1
x 0
x 1
f
Δ lim f x , lim f x
+
-
®
®
=
=
.
Επίσης, επειδή
( )
x 1
lim f x
+
®
= +¥
,
( )
x
lim f x
®+¥
= -¥
και η
συνεχής και γνησίως
φθίνουσα στο
(
)
2
Δ 1,
= +¥
προκύπτει :
( )
( )
( )
(
)
2
x
x 1
f
Δ lim f x , lim f x
+
®+¥
®
=
=
.
Έτσι
το σύνολο τιμών της
είναι
( ) ( ) ( )
f
1
2
f D f
Δ f Δ
= È =
.
β.
Επειδή
( )
1
0 f
Δ
Î =
υπάρχει
( )
1
x 0,1
Î
ώστε
( )
1
f x 0
=
.
Η ρίζα αυτή είναι μοναδική στο
( )
0,1
, αφού η
είναι γνησίως φθίνουσα
επομένως και
1-1.
Ομοίως
,
επειδή
,
( )
2
0 f
Δ
Î =
,
υπάρχει
(
)
2
x 1,
Î +¥
ώστε
( )
2
f x 0
=
.
Η ρίζα αυτή είναι επίσης μοναδική στο
(
)
1,
+¥
αφού η
είναι γνησίως φθί-
νουσα και άρα 1
-1.
Έτσι η
έχει ακριβώς 2 ρίζες στο πεδίο ορισμού της
.
γ.
Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της
( )
g x lnx
=
στο
σημείο
(
)
Α α,lnα
,
α 0
>
είναι:
(ε
1
)
:
( )
( )(
)
1
y g
α g α x α y x 1 lnα
α
¢
- =
- Û = - +
Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της
( )
x
h x e
=
στο
σημείο
(
)
β
Β β,e
,
β
Î
είναι:
f
f
D
f
f
f
f
f
f
f