261 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
260
•
( ) ( )
¢¢
¢¢ ×
<
1
2
f
ξ f ξ 0
Σύμφωνα με το θεώρημα
Bolzano
υπάρχει τουλάχιστον ένα
(
)
Î
0
1 2
ξ ξ ,ξ
τέτοιο ώστε
( )
¢¢
=
0
f
ξ 0
.
Για να δείξουμε πως το σημείο
0
ξ
είναι σημείο καμπής της συνάρτησης
,
θα
πρέπει να δείξουμε επιπλέον πως η
¢¢
f
αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν αυ-
τού. Όμως κάτι τέτοιο δεν μπορεί να συμβεί με τα δεδομένα του θέματος
και για αυτό το λόγο
σωστή απάντηση θεωρήθηκε κάθε απάντηση που
υπολόγιζε πιθανό σημείο καμπής
.
Δίνεται μια συνάρτηση
f
ορισμένη στο
με συνεχή πρώτη παράγωγο, για την
οποία ισχύουν οι σχέσεις:
( )
(
)
f x f 2 x
= - -
και
( )
f x 0
¢
¹
για κάθε
x
Î
α.
Να αποδείξετε ότι η
f
είναι γνησίως μονότονη
.
(Μονάδες
8)
β.
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση
( )
f x 0
=
έχει μοναδική λύση
.
(Μονάδες
8)
γ.
Έστω η συνάρτηση
( ) ( )
( )
f x
g x
f x
=
¢
.
Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της
g
στο σημείο
στο οποίο αυτή τέμνει τον άξονα
x
΄
x
, σχηματίζει με αυτόν γωνία 45
ο
.
(Μονάδες
9)
Απάντηση:
α.
Αφού
( )
f x 0
¢
¹
και
f
¢
συνεχής στο
συμπεραίνουμε ότι η
f
¢
διατηρεί στα-
θερό πρόσημο
γιατί
αν δε διατηρούσε σταθερό πρόσημο
,
θα υπήρχαν
1 2
x ,x
Î
με
1
2
x x
¹
(έστω
1
2
x x
<
) τέτοια
,
ώστε
( )
1
f x
¢
και
( )
2
f x
¢
ετερόση-
μα.
Οπότε θα είναι
•
f
¢
συνεχής στο
[
]
1 2
x ,x
·
( ) ( )
1
2
f x f x 0
¢
¢×
<
ΘΕΜΑ Δ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2003