Μαθηματικά Γ' Λυκείου

258 / 368

257
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
( ) ( ) ( ) ( )
¢ ¢ Û < < Û < <
f x 1 x
f x f x xf x
2 x 2
.
iii. Η f είναι συνεχής ως παραγωγίσιμη στο άρα συνεχής και στο [ ]0,1 . Επι-
πλέον, από το ii) ερώτημα έχουμε ( ) x
f x
2
> για x 0> οπότε ( )
f x 0> για
x 0> άρα ( )
f x 0³ για [ ]
x 0,1Î με το «=» να ισχύει μόνο για x 0= .
Έτσι, λοιπόν, το εμβαδόν είναι ( ) 1
0
E f x dx= ò .
Οι συναρτήσεις ( ) ( ) x
, f x , xf x
2
¢ είναι συνεχείς στο , οπότε με βάση το
ερώτημα α) και τη σχέση ( ) ( )
¢ < <
x
f x xf x
2
είναι:
· ( ) ( )
1
2
1 1
0 0
0
x x x 1
f x dx f x dx E E
2 2 4 4
é ù
< Û < Û < Û <ê ú
ë û ò ò
· ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1
0 0 0 0
f x xf x f x dx xf΄ x dx E xf x f x dx ¢ < Û < Û < é ù -
ë û ò ò ò
( ) ( )
( )
f 1
E f 1 E 2E f 1 E
2
Û < - Û < Û <
Οπότε τελικά ( )
< <
1 1
E f 1
4 2
.
Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σ’ ένα διάστημα [ ]α,β που έχει συνεχή δεύτε-
ρη παράγωγο στο ( )α,β . Αν ισχύει ( ) ( )= =
f α f β 0 και υπάρχουν αριθμοί
( ) ( )
γ α,β , δ α,βÎ Î έτσι ώστε ( ) ( )× <
f γ f δ 0 , να αποδείξετε ότι:
α. Υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης ( ) =
f x 0 στο διάστημα ( )α,β .
(Μονάδες 8)
β. Υπάρχουν σημεία ( )
Î
1 2 ξ ,ξ α,β τέτοια ώστε ( )
¢¢ <
1 f ξ 0 και ( )
¢¢ >
2 f ξ 0 .
(Μονάδες 9)
γ. Υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f .
(Μονάδες 8)
ΘΕΜΑ Δ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2003