254 / 368
253
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Δ Θέματα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2000
-2015
Τη χρονική στιγμή
t 0
=
χορηγείται σ’ έναν ασθενή ένα φάρμακο. Η συγκέ-
ντρωση του φαρμάκου στο αίμα του ασθενούς δίνεται από τη συνάρτηση:
( )
=
³
æ ö
+ ç ÷
è ø
2
α t
f t
, t 0
t
1
β
όπου
α
και
β
είναι σταθεροί θετικοί πραγματικοί αριθμοί και ο χρόνος
t
με-
τράται σε ώρες. Η μέγιστη τιμή της συγκέντρωσης είναι ίση με 15 μονάδες
και
επιτυγχάνεται 6 ώρες μετά τη χορήγηση του φαρμάκου.
α.
Να βρείτε τις τιμές των σταθερών
α
και
β
.
(Μονάδες 15)
β.
Με δεδομένο ότι η δράση του φαρμάκου είναι αποτελεσματική όταν η
τιμή της συγκέντρωσης είναι τουλάχιστον ίση με 12 μονάδες, να βρείτε το
χρονικό διάστημα που το φάρμακο δρα αποτελεσματικά.
(Μονάδες 10)
Απάντηση:
Η
f
είναι παραγωγίσιμη στο
(
)
0,
+¥
ως πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσε-
ων, με:
( )
2
2
2
2
2
2
t
t 1
t
α 1
-α t 2
α 1
β
β β
β
f t
, t 0
t
t
1
1
β
β
é
ù
é
ù
æ ö
æ ö
× +
×
×
-
ê
ú
ê
ú
ç ÷
ç ÷
è ø
è ø
ê
ú
ê
ú
ë
û
ë
û
¢
=
=
>
é
ù
é
ù
æ ö
æ ö
+
+
ê
ú
ê
ú
ç ÷
ç ÷
è ø
è ø
ê
ú
ê
ú
ë
û
ë
û
α.
Για
=
t 6
ώρες επιτυγχάνεται η μέγιστη τιμή
( )
=
f 6 15
(1)
μονάδες άρα η
f
παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο
0
t 6
=
.
ΘΕΜΑ Δ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2000