Μαθηματικά Γ' Λυκείου

259 / 368

Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
258
Απάντηση:
α. Αν γ δ= τότε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2
f γ f δ 0 f γ f γ 0 f γ 0× < Û × < Ûé ù < ë û αδύνατο,
Άρα γ δ¹ .
Χωρίς περιορισμό της γενικότητας θεωρούμε <
γ δ
· Η f είναι συνεχής στο [ ] [ ]Í
γ,δ α,β από υπόθεση
· ( ) ( )× <
f γ f δ 0
Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα
( ) ( )
Î Í
0 x γ,δ α,β τέτοιο, ώστε ( ) =
0 f x 0 .
Οπότε, υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης ( ) =
f x 0 στο ( )α,β .
β. Θεωρούμε ( ) ( )
f γ 0, f δ 0> < οπότε < < < <0 α γ x δ β .
· Η f είναι συνεχής στο [ ] [ ]Í
α,γ α,β
· Η f είναι παραγωγίσιμη στο ( ) ( )α, γ α,βÍ
Σύμφωνα με το Θεώρημα Μέσης Τιμής υπάρχει τουλάχιστον ένα
( )
Î
1 x α,γ τέτοιο ώστε
( ) ( ) ( ) ( )-
¢ = = >
- - 1
f γ f α f γ
f x 0
γ α γ α
αφού < Û - >
α γ γ α 0 και ( ) >
f γ 0
· Η f είναι συνεχής στο [ ] [ ]Í
0 γ,x α,β
· Η f είναι παραγωγίσιμη στο ( ) ( )
0 γ,x α,β Í
Σύμφωνα με το Θεώρημα Μέσης Τιμής υπάρχει τουλάχιστον ένα
( )
Î
2 0 x γ,x τέτοιο, ώστε
( ) ( ) ( ) ( )
- -
¢ = = <
- -
0
2
0 0
f x f γ f γ
f x 0
x γ x γ
αφού < Û - >0 0 γ x x γ 0 και ( )
- <f γ 0
· Η f είναι συνεχής στο [ ] [ ]Í
0 x ,δ α,β
· Η f είναι παραγωγίσιμη στο ( ) ( )
0 x ,δ α,βÍ