257 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
256
( ) ( )
( )
( )
( )
f x
f x
f x f x e 1 f x 1 e
1
-
-
é
ù
¢
¢
¢
Û +
= Û + =
ë
û
( )
( )
f x
1
f x
1 e
-
¢Û =
+
αφού
( )
f x
1 e 0
-
+ ¹
για κάθε
x
Î
Άρα
( )
f(x)
f(x)
f(x)
1
e
f x
1 e 1
1
e
¢
=
=
+
+
με
x
Î
.
ii.
Επειδή είναι
( )
=
f 0 0
η ζητούμενη ανισοτική σχέση
( )
( )
x
f x xf x
2
¢
< <
για
>
x 0
γράφεται
( ) ( ) ( )
f x f 0
1
f x
2 x 0
-
¢
<
<
-
.
·
f συνεχής στο
[0,x] ,
αφού είναι παραγωγίσιμη
·
f παραγωγίσιμη στο (0,
x)
Σύμφωνα με το Θεώρημα Μέσης Τιμής του διαφορικού λογισμού υπάρχει
ένα τουλάχιστον
( )
Î
ξ 0,x
τέτοιο, ώστε
( ) ( ) ( )
-
¢
=
-
f x f 0
f
ξ
x 0
.
Θα βρούμε τη μονοτονία της
¢
f
. Έτσι ,λοιπόν, έχουμε:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
f x
f x
f x
f(x)
f(x)
f(x)
2
2
f(x)
f x
f x
e f
΄ x (1 e ) e e f΄ x e f΄ x
e
f x
1 e
1 e
1 e
¢
×
× + - ×
×
×
æ
ö
¢¢
=
=
=
ç
÷ +è
ø
+
+
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
f x
f x
2f x
f x
2
3
f x
f x
e
e
e
1 e
0
για κάθε x .
1 e
1 e
×
+
=
=
>
Î
é
ù +
+
ë
û
Άρα
¢
f
γνησίως αύξουσα στο , άρα και στο
[ ]
0,x
.
Επομένως
( )
( ) ( ) ( )
f
ξ 0,x 0 ξ x f 0 f ξ f x
¢
¢
¢
¢
Î Û < < Þ < <
[
( ) ( ) ( )
f(0)
f(0)
f x f 0
e
f x
e 1 x 0
-
¢
Û <
<
+
-