256 / 368
255
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
α.
Έστω δύο συναρτήσεις
h,g
συνεχείς στο
[ ]
α,β
.
Να αποδείξετε ότι αν
( ) ( )
>
h x g x
για κάθε
[ ]
Î
x
α,β
,
τότε και
β
β
α
α
h(x)dx g(x)dx
>
ò
ò
(Μονάδες 2)
β.
Δίνεται η παραγωγίσιμη στο
συνάρτηση
f
, που ικανοποιεί τις σχέσεις:
( )
( )
f x
f x e x 1
-
- = -
x
Î
και
( )
f 0 0
=
.
i)
Να εκφραστεί η
f
¢
ως συνάρτηση της
f
.
(Μονάδες 5)
ii)
Να δείξετε ότι
( )
( )
¢
< <
x
f x x f x ,
2
για κάθε
>
x 0
.
(Μονάδες 12)
iii)
Αν Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική πα-
ράσταση της
f
, τις ευθείες
= =
x 0,x 1
και τον άξονα
'
x x
, να δείξετε ότι
( )
1 1
Ε f 1
4 2
< <
(Μονάδες 6)
Απάντηση:
α.
Θεωρούμε τη συνάρτηση
( ) ( ) ( )
= -
φ x h x g x
με
[ ]
Î
x
α,β
.
Η
( )
φ x
είναι συνεχής στο
[ ]
α,β
, ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων.
Επειδή
( ) ( )
>
h x g x
για κάθε
[ ]
Î
x
α,β
έχουμε
( )
>
φ x 0
για κάθε
[ ]
Î
x
α,β
Οπότε
( )
β
α
φ x dx 0
>
ò
(
)
β
α
h(x) g(x) dx 0
Û -
> Û
ò
( )
( )
-
>
ò
ò
β
β
α
α
h x dx g x dx 0
Άρα
( )
( )
>
ò
ò
β
β
α
α
h x dx g x dx
.
β.
i.
Αφού η
f
είναι παραγωγίσιμη στο , έχουμε:
( )
( )
( )
(
)
f x
f x e
f x 1
-
¢
¢
- - = Û
ΘΕΜΑ Δ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2002