262 / 368
261
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Ισχύουν
,
λοιπόν
,
οι προϋποθέσεις του θεωρήματος
Bolzano
δηλαδή υπάρχει
τουλάχιστον ένα
(
)
0
1 2
x x ,x
Î
τέτοιο ώστε
( )
0
f x 0
¢
=
άτοπο
.
Άρα
( )
f x 0
¢
>
για κάθε
x
Î
οπότε
f
γνησίως αύξουσα στο
ή
( )
f x 0
¢
<
για κάθε
x
Î
οπότε
f
γνησίως φθίνουσα στο
.
Σε κάθε περίπτωση
f
γνησίως μονότονη στο
.
β.
Αφού
f
γνησίως μονότονη στο
η εξίσωση
( )
f x 0
=
θα έχει το πολύ μία ρίζα
.
Θέτοντας
x 1
=
στη συναρτησιακή σχέση
( )
(
)
f x f 2 x
= - -
προκύπτει ότι
:
( )
(
)
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
f x f 2 x f 1 f 1 f 1 f 1 0 2f 1 0 f 1 0
= - - Û = - Û + = Û = Û =
Οπότε
ρ 1
=
μοναδική ρίζα της
( )
f x 0
=
.
γ.
Είναι
g
D
=
και
g
συνεχής στο
ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων
( )
( )
( )
( )
f x
g x 0
0 f x 0 x 1
f x
= Û = Û = Û =
¢
Άρα
,
το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της
g
με τον άξονα
x x
¢
εί-
ναι το Α(1,0)
.
Για να δείξουμε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της
g
στο ση-
μείο Α(1,0) σχηματίζει με τον άξονα
x x
¢
γωνία
o
45
αρκεί να δείξουμε ότι
g
παραγωγίσιμη στο
0
x 1
=
καθώς και ότι
( )
( )
ο
g 1
εφ45 g 1 1
¢
¢
=
Û =
Πράγματι έχουμε
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
) ( )
g 1 0
x 1
x 1
x 1
x 1
f x
g x g 1
g x
f x
f x
g 1 lim
lim lim lim
x 1
x 1
x 1
x 1 f x
=
®
®
®
®
¢
-
¢
=
=
=
=
¢
-
-
-
- ×
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
f 1 0
x 1
x 1
f x
f x f 1
1
1
1
lim
lim
f 1
1
x 1 f x
x 1 f x
f 1
=
®
®
æ
ö
æ
ö
-
¢
=
×
=
×
= ×
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
¢
¢
¢
-
-
è
ø
è
ø
ΘΕΜΑ Δ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2005