264 / 368
263
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
( )
( ) ( )
( )
x 0
x 0
f x f 0 f x
f 0 lim
lim
x 0
x
®
®
-
¢
=
=
-
Η σχέση
(1)
γράφεται
( )
( )
( )
( )
2
f x x g x x f x
x g x 1
x
x
x
×
+
=
Û = ×
+
οπότε
( )
( )
(
)
x 0
x 0
f x
lim lim x g x 1 0 2005 1 1
x
®
®
= ×
+ = ×
+ =
άρα
( )
f 0 1
¢
=
β.
( )
(
)
( )
(
)
2
2
2
2
2
x 0
x 0
x
x
λ f x
lim
lim
2x f x
®
®
+
=
+
( )
(
)
2
2
2
f x
1
λ
x
x
é
ù
ê
ú
+
ê
ú
ë
û
( )
(
)
2
2
f x
2
x
é
ù
ê
ú
+
ê
ú
ë
û
( )
( )
( )
x 0
2
f x
lim 1
x
2
x 0
f x
1
λ
x
1
λ 1 λ 1
lim
2 1 3
f x
2
x
®
=
®
æ
ö
+ ç
÷
+ ×
+
è
ø
=
=
=
+
æ
ö
+ ç
÷
è
ø
Οπότε
λ 1
3
λ 1 9 λ 8
3
+
= Û + = Û =
γ.
i.
Έχουμε:
( ) ( )
( ) ( )
f x f x f x f x 0
¢
¢
> Û - >
( )
( )
( )
x
x
x
e f x e f x 0 e f x 0
-
-
-
¢
¢
é
ù
Û -
> Û >
ë
û
για κάθε
x
Î
Έστω η συνάρτηση
( )
( )
x
h x e f x
-
=
,για την οποία, όπως δείξαμε παραπά-
νω, ισχύει ότι
( )
h x 0
¢
>
για κάθε
x
Î
δηλαδή η
h
είναι γνησίως αύξου-
σα στο
καθώς και ότι
( )
( )
0
h 0 e f 0 0
-
=
=
.
Διακρίνουμε περιπτώσεις:
●
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
x
g 0 0
g
e 0
x
x 0 g x g 0 g x 0 e f x 0 f x 0
-
=
>
-
> Û > Û > Û > Û >
1
άρα
( )
xf x 0
>
●
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
x
g 0 0
g
e 0
x
x 0 g x g 0 g x 0 e f x 0 f x 0
-
=
>
-
< Û < Û < Û < Û <
1