270 / 368
269
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Θέτουμε
x 1
u
x
+
=
με
x
x
x 1
x
lim
lim 1
x
x
®+¥
®+¥
+æ
ö
æ ö
=
=
ç
÷
ç ÷
è
ø
è ø
, άρα
u 1
®
Έτσι, λοιπόν ,
( )
u 1
lim lnu 0
®
=
οπότε
R 0 0 0
= - =
Οπότε,
( ) (
)
g A
,0
= -¥
δηλαδή για κάθε
x 0
>
ισχύει ότι
( )
(
)
(
)
1
1
g x 0 ln x 1 lnx
0 ln x 1 lnx
x
x
< Û + - - < Û + - <
ii.
Η συνάρτηση
f
ορίζεται στο
(
)
f
D 0,
= +¥
και είναι παραγωγίσιμη στο διά-
στημα αυτό με
( ) (
)
(
)
x
x 1
x x 1
f x ln x 1
lnx
ln x 1 lnx
x 1
x
x 1 x
+
+
¢
= + + - - = + - + -
+
+
(
)
x 1 1 x 1
ln x 1 lnx
x 1 x x
+ -
= + - +
- -
+
(
)
x 1 1 x 1
ln x 1 lnx
x 1 x 1 x x
+
= + - + - - -
+ +
(
)
ln x 1 lnx 1
= + - +
1
1
x 1
- -
+
1
x
-
(
)
1 1
ln x 1 lnx
x x 1
= + - - -
+
Όπως, όμως, αποδείξαμε στο
i.
ερώτημα ισχύει ότι
(
)
(
)
1
1
ln x 1 lnx
ln x 1 lnx
0
x
x
+ - < Û + - - <
για κάθε
x 0
>
.
Επίσης, για κάθε
1
1
x 0 x 1 0
0
0
x 1
x 1
> Þ + > Û > Û- <
+
+
.
Άρα, θα είναι και
( )
f x 0
¢
<
για κάθε
x 0
>
οπότε η
f
είναι γνησίως φθί-
νουσα στο
(
)
0,
+¥
.
β.
Είναι :
1
x
x
1
ln 1
1
x
lim xln 1
lim
1
x
x
®+¥
®+¥
é
ù
æ
ö +ç
÷
ê
ú
é
ù
æ
ö
è
ø
ê
ú
+ =
=
ç
÷
ê
ú
ê
ú
è
ø
ë
û
ê
ú
ë
û
Θέτουμε
1
θ 0
x
= >
με
x
1
lim 0
x
®+¥
æ ö = ç ÷
è ø
άρα
θ 0
+
®