275 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
274
β.
Να αποδείξετε ότι υπάρχει
( )
ξ 0,2
Î
τέτοιο, ώστε να ισχύει
( )
( )
( )
x
¢
¢
+ = +
2
f
ξ 4f ξ 6ξe 4f ξ
(Μονάδες 6)
γ.
Να αποδείξετε ότι
=
k 6
και ότι ισχύει
( )
=
g x 0
για κάθε
[ ]
Î
x 0,2
(Μονάδες 6)
δ.
Να αποδείξετε ότι
( )
=
3 2x
f x x e
,
0 x 2
£ £
(Μονάδες 5)
ε.
Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
( )
ò
2
2 1
f x
dx
x
(Μονάδες 4)
Απάντηση:
α.
•
g
συνεχής στο
[ ]
0,2
ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων (
2
3x
συνεχής
στο , άρα και στο
[ ]
0,2
ως πολυωνυμική,
( )
f x
¢
και
( )
2f x
-
συνεχείς
στο
[ ]
0,2
από υπόθεση,
2x
e
συνεχής στο
άρα και στο
[ ]
0,2
ως σύν-
θεση συνεχών συναρτήσεων)
·
g
παραγωγίσιμη στο
( )
0,2
με
( )
( )
( )
2
2x
f x 2f x
g x 3x
e
¢
¢
æ
- ö
¢
= - ç
÷
è
ø
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
2x
2x
4x
f x 2f x e 2e f x 2f x
6x
e
¢
¢
¢
-
-
-
= -
( )
( )
( )
( )
2x
f x 2f x 2f x 4f x
6x
e
¢
¢
¢
- - +
= -
( )
( )
( )
2x
f x 4f x 4f x
6x
e
¢
¢ - +
= -
·
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 0
f 0 2f 0
g 0
f 0 2f 0 2f 0 2f 0 0
e
×
¢
-
¢
= -
= - + = - + =
( )
( )
( )
( )
( )
4
2 2
4
f 2 2f 2
2f 2 12e 2f 2
g 2 12
12
12 12 0
e
e
×
¢
-
+ -
= -
= -
= - =
Οπότε η
g
ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος
Rolle
στο
[ ]
0,2