281 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
280
και να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση
1
f
-
της f (μονάδες 3)
(Μονάδες 7)
Για τα ερωτήματα Δ2 και Δ3
, δίνεται ότι
( )
(
)
1
x 2
f x e x 2x 3 , x
-
= - + Î
Δ2.
Να μελετήσετε τη συνάρτηση
1
f
-
ως προς την κυρτότητα.
(Μονάδες 3)
Στη συνέχεια, να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη
γραφική παράσταση της συνάρτησης
1
f
-
, την εφαπτομένη της γραφικής
παράστασης της
1
f
-
στο σημείο που αυτή τέμνει τον άξονα y΄y , και την
ευθεία x
= 1
(Μονάδες 6)
Δ3.
Για κάθε
x
Î
θεωρούμε τα σημεία
( )
(
)
( )
(
)
1
1
A x,f x ,B f x ,x
-
-
των
γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων
1
f
-
και f αντίστοιχα.
i)
Να αποδείξετε ότι, για κάθε
x
Î
, το γινόμενο των συντελεστών δι-
εύθυνσης των εφαπτομένων των γραφικών παραστάσεων των συ-
ναρτήσεων
1
f
-
και f στα σημεία A και B αντίστοιχα, είναι ίσο με 1.
(Μονάδες 3)
ii)
Να βρείτε για ποια τιμή του
x
"!
η απόσταση των σημείων A, B γίνε-
ται ελάχιστη, και να βρείτε την ελάχιστη απόστασή τους.
(Μονάδες 6)
Απάντηση:
Δ1.
Η συνάρτηση
f
είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της, επομένως πα-
ραγωγίζοντας τη σχέση
( )
( )
( )
(
)
f x 2
e f x 2f x 3 x
- + =
κατά μέλη παίρνουμε :
( )
( )
( )
(
)
(
)
( )
f x 2
e f x 2f x 3 x
¢
¢
- + = Û
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
(
)
f x
f x
2
2
e f x 2f x 3 e f x 2f x 3 1
¢
Û
- + +
- + =
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( ) ( )
( )
(
)
f x 2
f x
f x e f x 2f x 3 e 2f x f x 2f x 1
¢
¢
¢
Û
- + +
-
=
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( ) ( )
(
)
f x
f x
2
f x e f x 2f x 3 e f x 2f x 2 1
¢
¢
Û
- + +
- =
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
(
)
f x
f x
2
2
f x e f x 2f x 3 2f x 2 1 f x e f x 1 1
¢
¢
Û
- + + - = Û
+ =
( )
( )
( )
(
)
f x 2
1
f x
0
e f x 1
¢Û =
>
+