277 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
276
ε.
Είναι :
( )
2
2
2
2
3 2x
2x
2x
2
2
1
1
1
1
f x
x e
e
dx
dx xe dx x
dx
x
x
2
¢
æ ö
=
=
=
=
ç ÷
è ø
ò
ò
ò
ò
2
2
2
2
2x
2x
2x
2x
1 1
1
1
e
e
e
e
x
dx x
2
2
2
4
é ù
é ù é ù
=
-
=
-
=
ê ú
ê ú ê ú
ë û
ë û ë û
ò
4
2
4
2
2
4
2
4
2e e e e
e e e
e
2 2 4 4
2 4 4
æ
ö æ
ö
= - - - = - - +
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
4
2
4 2
3e e 3e e
4 4
4
-
= - =
.
Δίνεται η συνάρτηση
f :
®
, η οποία είναι 3 φορές παραγωγίσιμη και τέ-
τοια ώστε:
i.
( )
( )
x 0
f x
lim 1 f 0
x
®
= +
ii.
( ) ( ) ( )
f 0 f 1 f 0
¢
< -
και
iii.
( )
f x 0
¢¢
¹
για κάθε
x
Î
Δ1
.
Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της
συνάρτησης
f
στο σημείο της με τετμημένη
0
x 0
=
(Μονάδες 3)
Δ2.
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
f
είναι κυρτή στο
(Μονάδες 5)
Αν επιπλέον
( ) ( )
g x f x x
= -
,
x
Î
, τότε:
Δ3.
Να αποδείξετε ότι η
g
παρουσιάζει ολικό ελάχιστο και να βρείτε το
( )
x 0
ημx
lim
xg x
®
(Μονάδες 6)
Δ4.
Να αποδείξετε ότι
( )
2
0
f x dx 2
>
ò
(Μονάδες 5)
Δ5.
Αν το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση
ΘΕΜΑ Δ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2011