274 / 368
273
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Για
x 0
=
έχουμε:
( )
5 3
2
2
g 0 0 0 0 c 1 c
= + + + Û =
Άρα
( )
5 3
g x x x x 1
= + + +
με
x
Î
ii)
H
( )
5 3
g x x x x 1
= + + +
ως πολυωνυμική, είναι παραγωγίσιμη στο
!
με
( )
4
2
g x 5x 3x 1
¢
= + +
Όμως,
( )
4
2
g x 5x 3x 1 0
¢
= + + >
για κάθε
x
Î
αφού
4
5x 0
³
και
Άρα
4
2
4
2
5x 3x 0 5x 3x 1 1 0
+ ³ Û + + ³ >
, οπότε η
g είναι γνησίως αύξου-
σα στο
άρα και 1–
1.
Β΄ τρόπος (με τον ορισμό της μονοτονίας)
Για κάθε
1 2 g
x , x D
Î
με
1
2
x x
<
έχουμε:
5
5
1 2
1
2
x x x x
< Û <
(3)
3
3
1 2
1
2
x x x x
< Û <
(4)
1 2
1
2
x x x 1 x 1
< Û + < +
(5)
Προσθέτοντας κατά μέλη τις
(3)
,
(4)
,
(5)
προκύπτει
( ) ( )
5
3
5
3
1
1
1
2
2
2
1
2
x x x 1 x x x 1 g x g x
+ + + < + + + Û <
, άρα η
g
είναι γνησίως
αύξουσα στο
οπότε είναι και «1
-
1».
Δίνεται μια συνάρτηση
[ ]
f : 0,2
®
η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη
και ικανοποιεί τις συνθήκες
( )
( )
( )
¢
¢ - + =
2x
f x 4f x 4f x kxe
,
0 x 2
£ £
( )
( )
¢
=
f 0 2f 0
,
( )
( )
¢
= +
4
f 2 2f 2 12e
,
( )
=
2
f 1 e
όπου
k
ένας πραγματικός αριθμός
α.
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
( )
( )
( )
¢
-
= -
2
2x
f x 2f x
g x 3x
e
,
0 x 2
£ £
ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος του
Rolle
στο διάστημα
[ ]
0,2
(Μονάδες 4)
³
2
3x 0
ΘΕΜΑ Δ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2009