269 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
268
Β΄ τρόπος (με ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ και ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ)
Θεωρούμε τη συνάρτηση
( ) (
)
1
g x ln x 1 lnx
x
= + - -
με
(
)
g
D 0,
= +¥
.
Η
g
είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων (
(
)
ln x 1
+
λογαριθ-
μική,
lnx
λογαριθμική,
1
x
ρητή)
Η
g
είναι παραγωγίσιμη στο
(
)
0,
+¥
ως διαφορά παραγωγίσιμων συ-
ναρτήσεων .
( )
2
1 1 1 x
g x
x 1 x x
¢
= - + =
+
x
-
(
)
(
)
2
2
1 1
1 1
x x 1 x x x 1 x
-
-
+ =
+
+
+
(
)
(
)
2
2
x x 1 1
0
x 1 x x 1 x
- + +
=
=
>
+
+
Οπότε, η
g
είναι γνησίως αύξουσα στο
(
)
0,
+¥
και αφού είναι συνεχής
στο
(
)
0,
+¥
θα έχουμε ,
( )
(
)
(
)
( )
( )
(
)
x
x 0
g A g 0,
lim g x , lim g x
+
®+¥
®
= +¥ =
( )
(
)
(
)
x 0
x 0
x 0
1
xlnx 1
lim g x lim ln x 1 lnx
lim ln x 1
L
x
x
+
+
+
®
®
®
+
æ
ö
æ
ö
=
+ - - =
+ -
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
Όμως ,
(
)
( )
D.L.H
x 0
x 0
x 0
x 0
2
1
lnx
x
lim xlnx lim
lim
lim x 0
1
1
x
x
+
+
+
+
-¥æ ö
ç ÷ +¥è ø
®
®
®
®
æ ö
æ
ö
ç ÷
ç
÷
=
=
= - =
ç ÷
ç
÷
ç ÷
ç
÷ -
è ø
è
ø
οπότε
x 0
xlnx 1
lim
x
+
®
+ æ
ö = +¥
ç
÷
è
ø
.
Επίσης
(
)
(
)
( )
u x 1
x 0
u 1 u 1
lim ln x 1
lim lnu ln1 0
+
+
+
= +
®
® ®
+ =
= =
άρα
L
=-¥
Ακόμη
( )
(
)
x
x
x
1
x 1 1
lim g x lim ln x 1 lnx
lim ln
R
x
x x
®+¥
®+¥
®+¥
æ
ö
+
æ
ö
æ
ö
=
+ - - =
- =
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
Είναι
x
x 1
lim ln
x
®+¥
+æ
ö = ç
÷
è
ø
.