268 / 368
267
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Δίνεται η συνάρτηση
( )
(
) (
)
f x xln x 1 x 1 lnx
= + - +
με
x 0
>
α.
i.
Να αποδείξετε ότι
(
)
1
ln x 1 lnx
x
+ - <
,
x 0
>
ii.
Να αποδείξετε ότι η
f
είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα
(
)
0,
+¥
(Μονάδες 12)
β.
Να υπολογίσετε το
x
1
lim xln 1
x
®+¥
æ
ö +ç
÷
è
ø
(Μονάδες 5)
γ.
Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός αριθμός
(
)
α 0,
Î +¥
τέτοιος ώστε
(
)
α α 1
α 1 α
+
+ =
(Μονάδες 8)
Απάντηση:
α.
i.
Α΄ τρόπος (με χρήση Θ.Μ.Τ.)
Θεωρούμε τη συνάρτηση
( )
h x lnx
=
με
(
)
h
D 0,
= +¥
και
( )
1
h x
x
¢
=
καθώς και
( )
2
1
h x
0
x
¢
= - <
για κάθε
x 0
>
οπότε
h
¢
γνησίως
φθίνουσα στο
(
)
0,
+¥
Ακόμη
•
h
συνεχής στο
[
]
x,x 1
+
ως λογαριθμική
·
h
παραγωγίσιμη στο
(
)
x,x 1
+
με
( )
1
h x
x
¢
=
Ισχύουν, δηλαδή, οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής οπότε
θα υπάρχει τουλάχιστον ένα
(
)
ξ x,x 1
Î +
τέτοιο ,ώστε:
( ) (
) ( )
h x 1 h x
h
ξ
x
+ -
¢
=
1 x
+ -
( )
(
)
h
ξ ln x 1 lnx
¢Û = + -
(1)
Όμως ,
(
)
( ) ( )
( )
1
h
ξ x,x 1 x ξ x 1 x ξ h x h ξ
¢
¢
¢
Î + Û < < + Þ < Û > Û
2
(
)
(
)
1
1
ln x 1 lnx ln x 1 lnx
x
x
Û > + - Û + - <
ΘΕΜΑ Δ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2006