267 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
266
(ε
2
):
( ) ( )(
)
β
β
β
y h
β h β x β y e x e βe
¢
- =
- Û = + -
Οι (ε
1
), (ε
2
) ταυτίζονται
,
αν και μόνο αν
:
β
β
β
1
β lnα
e
α
1 1
1 ln
α
lnα
1 ln
α e βe
α α
= -
ì
ì
=ï
ï
Û
í
í
- + = +
ï
ï
- + = -
î
î
Έτσι λοιπόν έχουμε
1 1
1 ln
α
lnα α αlnα 1 lnα α 1 lnα αlnα
α α
- + = + Û- + = + Û- - = -
(
)
α 1 α 1 lnα
Û + = -
(1)
●
Αν
α 1
¹
τότε η (1)
( )
α 1
α 1
ln
α
lnα 0 f α 0
α 1
α 1
+
+
Þ = Û - = Û =
-
-
.
●
Αν
α 1
=
τότε η (1)
1 1
Þ- =
Αδύνατο
Άρα δεν έχουμε κοινή εφαπτομένη για
α 1
=
Τελικά για να είναι κοινή εφαπτομένη το α ρίζα της
f.
δ.
Από το
Δγ
προκύπτει ότι οι γραφικές παραστάσεις των
( ) ( )
g x , h x
έχουν
κοινή εφαπτόμενη στα σημεία τους
(
)
Α α,lnα
και
(
)
β
Β β,e
αντίστοιχα αν
και μόνον αν το α είναι ρίζα της
f .
Επειδή η
( )
f x 0
=
έχει δύο διακεκριμένες ρίζες
( )
1
α 0,1
Î
και
(
)
2
α 1,
Î +¥
,
προκύπτουν δύο εφαπτόμενες με εξισώσεις
( )
1
1
1
1
ε : y x 1 lnα
α
= - +
και
( )
2
2
2
1
ε : y x 1 lnα
α
= - +
Οι εφαπτόμενες αυτές είναι ακριβώς δύο (διακεκριμένες) αφού έχουν δύο
διακεκριμένους συντελεστές διεύθυνσης
1
2
1 1
,
α α
αντίστοιχα γιατί
(
)
1
1
1,
α
Î +¥
και
( )
2
1
0,1
α
Î
.