263 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
262
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση
f :
®
για την οποία ισχύει:
( )
2
x 0
f x x
lim 2005
x
®
-
=
α.
Να δείξετε ότι :
i.
( )
f 0 0
=
(Μονάδες
4)
ii.
( )
f 0 1
¢
=
(Μονάδες
4)
β.
Να βρείτε το
λ
Î
έτσι ,ώστε
( )
(
)
( )
(
)
2
2
2
2
x 0
x
λ f x
lim
3
2x f x
®
+
=
+
(Μονάδες
7)
γ.
Αν επιπλέον η
f
είναι παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο στο
και
( ) ( )
f x f x
¢
>
για κάθε
x
Î
,
να δείξετε ότι:
i.
( )
xf x 0
>
για κάθε
x 0
¹
(Μονάδες
6)
ii.
( )
( )
1
0
f x dx f 1
<
ò
(Μονάδες
4)
Απάντηση:
α.
i.
Αφού
f
συνεχής στο
, θα είναι συνεχής και στο
0
, οπότε θα έχουμε
( ) ( )
x 0
limf x f 0
®
=
Για
x
κοντά στο 0
θεωρούμε τη βοηθητική συνάρτηση
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2
2
2
f x x
g x
x g x f x x f x x g x x
x
-
=
Û ×
= - Û = ×
+
(1)
με
( )
x 0
limg x 2005
®
=
.
Τότε, από την σχέση
(1
) θα είναι:
( )
( )
(
)
2
x 0
x 0
limf x lim x g x x 0 2005 0 0
®
®
= ×
+ = ×
+ =
Άρα,
( )
f 0 0
=
.
ii.
Για την
( )
f 0
¢
έχουμε για
x
κοντά στο 0