260 / 368
259
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Σύμφωνα με το Θεώρημα Μέσης Τιμής υπάρχει τουλάχιστον ένα
(
)
Î
3
0
x x ,
δ
τέτοιο, ώστε
( ) ( ) ( )
( )
-
¢
=
= <
-
-
0
3
0
0
f
δ f x f δ
f x
0
δ x
δ x
αφού
< Û - >
0
0
x
δ δ x 0
και
( )
<
f
δ 0
·
Η
f
είναι συνεχής στο
[ ] [ ]
Í
δ,β α,β
·
Η
f
είναι παραγωγίσιμη στο
( ) ( )
δ,β α,β
Í
Σύμφωνα με το Θεώρημα Μέσης Τιμής υπάρχει τουλάχιστον ένα
( )
Î
4
x
δ,β
τέτοιο, ώστε
( ) ( ) ( )
( )
-
-
¢
=
=
>
-
-
4
f
β f δ f δ
f x
0
β δ β δ
αφού
< Û - >
δ β β δ 0
και
( )
- >
f
δ 0
·
Η
f
΄ είναι συνεχής στο
[
]
1 2
x ,x
·
Η
f
΄ είναι παραγωγίσιμη στο
(
)
1 2
x ,x
Σύμφωνα με το Θεώρημα Μέσης Τιμής υπάρχει τουλάχιστον ένα
(
)
Î
1
1 2
ξ x ,x
τέτοιο ώστε
( ) ( ) ( )
2
1
1
2 1
f x f x
f
ξ
x x
¢
¢-
¢¢
=
-
Όμως ,
< Û - >
1 2
2 1
x x x x 0
και
( )
¢
<
2
f x 0
,
( )
( )
¢
¢
> Û- <
1
1
f x 0 f x 0
, άρα
( ) ( )
¢
¢- <
2
1
f x f x 0
οπότε
( ) ( ) ( )
2
1
1
2 1
f x f x
f
ξ
0
x x
¢
¢-
¢¢
=
<
-
.
·
Η
f
΄ είναι συνεχής στο
[
]
3 4
x ,x
·
Η
f
΄ είναι παραγωγίσιμη στο
(
)
3 4
x ,x
Σύμφωνα με το Θεώρημα Μέσης Τιμής υπάρχει τουλάχιστον ένα
(
)
Î
2
3 4
ξ x ,x
τέτοιο ,ώστε
( ) ( ) ( )
4
3
2
4 3
f x f x
f
ξ
x x
¢
¢-
¢¢
=
-
Όμως
< Û - >
3
4
4 3
x x x x 0
και
( )
( )
¢
¢
< Û- >
3
3
f x 0 f x 0
,
( )
¢
>
4
f x 0
άρα
( ) ( )
¢
¢- >
4
3
f x f x 0
οπότε
( ) ( ) ( )
4
3
2
4 3
f x f x
f
ξ
0
x x
¢
¢-
¢¢
=
>
-
Ανάλογα εργαζόμαστε αν
( )
( )
f
γ 0, f δ 0
<
>
γ.
• Η
¢¢
f
είναι συνεχής στο διάστημα
[
] [ ]
Í
1 2
ξ ,ξ
α,β
από υπόθεση