265 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
264
άρα
( )
xf x 0
>
Έτσι, λοιπόν, δείξαμε ότι για κάθε
x 0
¹
ισχύει ότι
( )
xf x 0
>
.
ii.
Ισχύει
( ) ( )
( ) ( )
f x f x f x f x 0
¢
¢
> Û - >
και η συνάρτηση
( ) ( )
f x f x
¢
-
είναι
συνεχής στο
[ ]
0,1
άρα:
( ) ( )
1
0
f x f x dx 0
¢é
- ù >
ë
û
ò
( )
( )
1
1
0
0
f x dx f x dx 0
¢
Û -
>
ò
ò
( )
( )
1
1
0
0
f x dx f x dx
¢
Û >
ò
ò
( )
( )
1
1
0 0
f x
f x
Ûé ù > ë û
ò
( ) ( )
( )
( )
( )
1
1
0
0
f 1 f 0 f x f 1 f x
Û - >
Û >
ò
ò
Απάντηση:
α.
Πρέπει
x 0
>
και
x 1
¹
. Άρα
( ) (
)
f
D 0,1 1,
= È +¥
.
Δίνεται η συνάρτηση
( )
x 1
f x
lnx
x 1
+
= -
-
.
α
.
Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της συνάρτησης
.
(Μονάδες 8)
β
.
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση
( )
f x 0
=
έχει ακριβώς 2 ρίζες στο πεδίο ορι-
σμού της.
(
Μονάδες 5
)
γ
.
Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης
( )
g x lnx
=
στο σημείο
(
)
Α α,lnα
με
α 0
>
και η εφαπτομένη της γραφικής παράστα-
σης της συνάρτησης
( )
x
h x e
=
στο σημείο
(
)
β
Β β,e
με
β
Î
ταυτίζονται,
τότε να δείξετε ότι ο αριθμός α
είναι ρίζα της εξίσωσης
( )
f x 0
=
.
(
Μονάδες 9
)
δ
.
Να αιτιολογήσετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων
g
και
h
έχουν ακριβώς δύο κοινές εφαπτόμενες.
(
Μονάδες 3
)
f
ΘΕΜΑ Δ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2006