272 / 368
271
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Απάντηση:
α.
Θέτουμε
( )
2
0
f t dt k
= Î
ò
(1)
οπότε
( )
(
)
3
f x 10x 3x k 45
= + -
άρα :
( )
(
)
2
2
2
4
2
3
0
0
0
t
t
f t dt
10t 3t k 45 dt k 10 3 45t
4 2
é
ù
æ
ö
é
ù
=
+ - =
+ -
ê
ú
ç
÷
ë
û
è
ø
ë
û
ò
ò
40k 6k 90 46k 90
= + - = -
(2)
Από τις
(1)
,
(2)
προκύπτει ότι:
46k 90 k 45k 90 k 2
- = Û = Û =
Οπότε, τελικά:
( )
(
)
3
3
f x 10x 3x 2 45 20x 6x 45
= + - = + -
Έστω
f
μια συνάρτηση συνεχής στο
για την οποία ισχύει
( )
(
)
( )
2
3
0
f x 10x 3x f t dt 45
= +
-
ò
α.
Να αποδείξετε ότι
( )
3
f x 20x 6x 45
= + -
(Μονάδες 8)
β.
Δίνεται επίσης μια συνάρτηση g δύο φορές παραγωγίσιμη στο
!
. Να απο-
δείξετε ότι
( )
( ) (
)
h 0
g x g x h
g x lim
h
®
¢
¢- -
¢
=
(Μονάδες 4)
γ.
Αν για τη συνάρτηση f του ερωτήματος (α) και τη συνάρτηση g του ερωτή-
ματος (β) ισχύει ότι
(
)
( ) (
) ( )
2
h 0
g x h 2g x g x h
f x 45
lim
h
®
+ - + -
= +
και
( )
( )
g 0 g 0 1
¢= =
τότε:
i.
να αποδείξετε ότι
( )
5 3
g x x x x 1
= + + +
(Μονάδες 10)
ii.
να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι 1–
1
(Μονάδες 3)
ΘΕΜΑ Δ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2008