285 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
284
Παρατηρούμε ότι
( )
(
)
0 2
g 0 2 e 0 1 2 2 2 0
¢
=
+ - = - =
και επιπλέον
για την παράγωγο της
g
¢
ισχύει :
( )
(
)
(
)
(
)
( ) (
)
(
)
x 2
x
2
x 2
g x
2e x 1 2 2 e x 1 2e x 1
¢
¢
¢
¢
¢
=
+ - =
+ +
+
(
)
x 2
x
2 e x 1 2e 2x
=
+ + ×
(
)
2
x
2e x 1 0
=
+ >
για κάθε
{ }
x
1
Î -
.
Επομένως η
g
¢
είναι γνησίως αύξουσα, άρα και ‘’1
-
1’’ στο πεδίο ορισμού
της και κατά συνέπεια η
x 0
=
είναι μοναδική της ρίζα.
Επίσης για
( )
( )
( )
x 0 g x g 0 g x 0
¢
¢
¢
> Û > Û >
Όμοια για
( )
( )
( )
( )
x 0 g x x g 0 g x 0
¢
¢
¢
< Û < Û <
Το πρόσημο της
g
¢
καθώς και η μονοτονία της
g
φαίνονται στον παρακάτω
πίνακα:
Η συνάρτηση
g
είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα
(
]
,0
-¥
και γνησί-
ως αύξουσα στο διάστημα
[
)
0,
+¥
και συνεπώς παρουσιάζει ολικό ελάχι-
στο για
x 0
=
το
( )
( )
(
)
(
)
1
g 0 2 f 0 0 2 3 0 3 2
-
=
- = - =
, το οποίο αποτε-
λεί και τη ζητούμενη ελάχιστη απόσταση των σημείων
( )
(
)
1
A x,f x
-
και
( )
(
)
1
B f x ,x
-
.
x
-¥
0
+¥
( )
g x
¢
-
+
g
>
1