291 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
290
Θέμα
8
Θέμα
9
α.
N
α δείξετε ότι
( )
( )
( )
( )
( )
g x
0
α
g x
g x
α
0
f x
f x
α
dx
dx
1
α
1 α
-
=
+
+
ò
ò
β.
N
α δείξετε ότι
( )
( )
( )
α
α
g x
α
0
f x
dx f x dx
1
α
-
=
+
ò
ò
γ.
N
α δείξετε ότι
π
ημx
π
x
ημx
dx
π
1
π
-
=
+
ò
Δίνεται η συνάρτηση
( )
-
=
Î
+
x
x
e 1
f x
, x
e 1
.
α.
Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε την αντίστροφη συ-
νάρτηση
( )
1
f x
-
.
β
.
Να λύσετε την εξίσωση
-
æ
ö
æ ö - + =
ç
÷
ç ÷
è ø
è
ø
1
ημx
f f
ln5 ln3 0
2
στο
é
ù
ê
ú
ë
û
π 3π
,
2 2
.
γ.
Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
( )
1
2
1
2
1
I
f x dx
-
-
=
ò
.
δ
.
Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της
f
και της γραφικής
παράστασης της
-
1
f
.
Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση
®
f :
, για την οποία ισχύ-
ουν :
( )
=
f 0 0
και
( )
( )
f x
f x e x 1
-
- = -
, για κάθε
Î
x
.
α.
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και κυρτή στο
.
β.
Να αποδείξετε ότι
( )
( )
x
f x xf x
2
¢
< <
για κάθε
>
x 0
.
γ.
Αν Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράστα-
ση της
f
τον άξονα
x
΄
x
και τις ευθείες
=
x 0
και
=
x 1
να αποδείξετε ότι
( )
f 1
1
E
4
2
< <
.