295 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
294
Θέμα 18
Θέμα 17
Οι πολεοδόμοι μιας πόλης εκτιμούν ότι, όταν ο πληθυσμός
P
της πόλης είναι
x
εκατοντάδες χιλιάδες άτομα, θα υπάρχουν στην πόλη
(
)
2
Ν 10 2 x x
=
+
χιλιά-
δες αυτοκίνητα. Έρευνες δείχνουν ότι σε
t
έτη από σήμερα ο πληθυσμός της
πόλης θα είναι
t 4
+
εκατοντάδες χιλιάδες άτομα.
α.
Να εκφράσετε τον αριθμό Ν των αυτοκινήτων της πόλης ως συνάρτηση του
t.
β.
Να βρείτε πότε θα υπάρχουν στην πόλη 120 χιλιάδες αυτοκίνητα.
γ.
Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του αριθμού των αυτοκινήτων στο 1
ο
ετος.
δ.
Να υπολογίσετε το
( )
(
)
( )
2
2
2 2
1
200
Ρ t 4 t 7
dt
Ν t
é
ù
- -
ë
û
ò
.
Δίνεται η συνάρτηση
( )
3
2
4x
3x
x 4x 4x
α, x 0
f x
e 1
, x 0
e 1
ì + + + £
ï
= í
-
>
ï
-
î
με
α
Î
.
α.
Να υπολογίσετε, εφόσον υπάρχουν,
τα
( )
3
x
f x
lim
x
®-¥
,
( )
x
lim f x
®-¥
και
( )
x
lim f x
®+¥
.
β.
N
α προσδιορίσετε τις τιμές του α ώστε η εξίσωση
( )
f x 0
=
να έχει ακριβώς
δύο πραγματικές ρίζες στο διάστημα
(
)
3, 1
- -
.
γ.
Δίνεται επιπλέον ότι η
f
είναι συνεχής στο
γ
1
.
Να δείξετε ότι
4
α
3
=
.
γ
2
.
Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της γραφι-
κής παράστασης της
f
, του άξονα
x
΄
x
και των κατακόρυφων ευθειών
x 1
=-
,
x 0
=
.