250 / 368
249
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Για τη συνάρτηση
g
ισχύουν :
·
Είναι συνεχής στο
[
]
1
x ,1
(πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων)
·
( ) ( )
1
g x g 1 0
×
<
διότι
ü
( )
( ) ( )
( )
( )
1
3
f x
2
1
1
1
1
1
1
3
3
g x x f x f x
x f x
2
2
=
¢
¢
=
- + =
-
3
2
+
( )
1
1
x f x 0
¢
=
<
αφού
1
0 x 1
< <
και
( )
f x 0
¢
<
για κάθε
( )
x 0,1
Î
,οπότε και
( )
1
f x 0
¢
<
ü
( )
( ) ( )
( ) ( )
3
3
3 1
g 1 1 f 1 f 1
f 1 f 1
1
0
2
2
2 2
¢
¢
= ×
- + = - + = - + = >
(είναι
( )
1 1
1
f 1 e
0
1
-
¢
= - =
και
( )
1 1
f 1 e ln1 1
-
= - =
)
Από το θεώρημα
Bolzano
προκύπτει ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα
(
)
1
ξ x ,1
Î
τέτοιο ώστε
( )
( ) ( )
3
g
ξ 0 ξf ξ f ξ
0
2
¢
= Û - + =
.
Εξετάζουμε στη συνέχεια τη μονοτονία της
g
Είναι
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
3
g x xf x f x
x f x xf x f x xf x
2
¢
æ
ö
¢
¢
¢
¢
¢¢
¢
¢¢
=
- + =
+
- =
ç
÷
è
ø
Όμως
x 0
>
και
( )
x 1
x 1
2
1
1
f x e
e
0
x
x
-
-
¢
æ
ö
¢¢
= - = + >
ç
÷
è
ø
Έτσι
( )
g x 0
¢
>
για κάθε
x 0
>
και επομένως η
g
είναι γνησίως αύξουσα στο
πεδίο ορισμού της .
Άρα υπάρχει μοναδικό
(
)
1
ξ x ,1
Î
τέτοιο ώστε
( )
( ) ( )
3
g
ξ 0 ξf ξ f ξ
0
2
¢
= Û - + =
και κατά συνέπεια μοναδικό
(
)
1
ξ x ,1
Î
τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της
f
C
στο σημείο
( )
(
)
ξ,f ξ
να διέρχεται από το σημείο
3
M 0,
2
æ ö
ç ÷
è ø
.