248 / 368
247
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Η συνάρτηση
f
είναι συνεχής στο
(
]
0,1
και για κάθε
( )
x 0,1
Î
είναι
( )
f x 0
¢
<
οπότε
f
γνησίως φθίνουσα στο διάστημα
(
]
0,1
Επίσης ,η
f
είναι συνεχής στο
[
)
1,
+¥
και για κάθε
(
)
x 1,
Î +¥
είναι
( )
f x 0
¢
>
οπότε
f
γνησίως αύξουσα στο διάστημα
[
)
1,
+¥
.
Θεωρούμε τα διαστήματα
(
]
1
Δ 0,1
=
,
(
)
2
Δ 1,
= +¥
ü
Η
f
είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο
1
D
άρα:
( )
( )
( )
)
[
)
1
x 0
f
Δ f 1 , lim f x 1,
+
®
é=
= +¥
êë
αφού
( )
1 1
f 1 e ln1 1
-
= - =
και
( )
(
)
x 1
x 0
x 0
lim f x lim e lnx
+
+
-
®
®
=
- = +¥
ü
Επίσης ,η
f
είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο
2
Δ
οπότε
( )
( )
( )
(
)
(
)
2
x
x 1
f
Δ lim f x , lim f x 1,
+
®+¥
®
=
= +¥
διότι
( )
(
)
x 1
1 1
x 1
x 1
lim f x lim e lnx e ln1 1
+
+
-
-
®
®
=
- = - =
και
( )
(
)
x 1
x 1
1
x 1
x
x
x
lnx
lim f x lim e lnx lim e 1
e
-
-
-
®+¥
®+¥
®+¥
é
ù
æ
ö
=
- =
-
=
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
Υπολογίζουμε το
( )
( )
x 1
x 1
x 1
x
x
x
x
x 1
D.L.H.
1
lnx
lnx
1
x
lim lim
lim lim 0
e
e
xe
e
+¥æ ö
ç ÷ +¥è ø
-
-
-
®+¥
®+¥
®+¥
®+¥
-
¢
=
=
=
¢
=
αφού
(
)
x 1
x 1
x
x
x
lim xe lim x lim e
-
-
®+¥
®+¥ ®+¥
= ×
= +¥
Άρα
1
= +¥
Τελικά για το σύνολο τιμών της συνάρτησης
f
,από τις σχέσεις
( ) ( )
1 , 2
προκύπτει ότι
( ) ( ) ( )
[
) (
)
[
)
f
1
2
f D f
Δ f Δ 1,
1,
1,
= È = +¥ È +¥ = +¥
Γ2. Εκτός ύλης
Γ3.
Από τη μελέτη μονοτονίας της
f
στο προηγούμενο ερώτημα προέκυψε ότι
η
( )
f x
είναι γνησίως φθίνουσα στο
(
]
0,1
και γνησίως αύξουσα
στο διά-
στημα
[
)
1,
+¥
επομένως η
f
έχει ολικό ελάχιστο στο
0
x 1
=
το
( )
f 1 1
=
.