246 / 368
245
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Γ4.
Θεωρούμε τη συνάρτηση
( )
( )
(
)
( )
x
2
h x f x 2 f t dt
= -
ò
με
x 0
³
.
Για τη συνάρτηση
h
ισχύουν
·
Είναι παραγωγίσιμη στο
(
)
0,
+¥
με παράγωγο
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
(
)
x
x
2
2
h x f x 2 f t dt f x 2 f t dt
¢
¢
¢
= -
+ -
=
ò
ò
( ) ( )
( )
(
)
( )
x
2
f x f t dt f x 2 f x
¢=
+ -
ò
επομένως
είναι και συνεχής
στο
[ ] [
)
2,4 0,
Í +¥
καθώς και παραγωγίσιμη στο
( ) (
)
2,4 0,
Í +¥
.
·
Επιπλέον
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
2
2
h 2 f 2 2 f t dt f 2 2 0 0
= -
= - × =
ò
( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
4
4
4
ln4
2 ln2
4
4
2
2
2
h 4 f 4 2 f t dt e 2 f t dt e
2 f t dt
×
= -
= -
= -
ò
ò
ò
(
)
( )
(
)
( )
( )
4
4
4
ln 2
2
2
2
e
2 f t dt
2 2 f t dt 0 f t dt 0
= -
= -
= ×
=
ò
ò
ò
Σύμφωνα με το θεώρημα
Rolle
υπάρχει
( )
ξ 2,4
Î
τέτοιο, ώστε
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
ξ
2
h
ξ 0 f ξ f t dt f ξ 2 f ξ 0
¢
¢
= Û + -
=
ò
( )
( )
( )
( )
(
)
ξ
2
f
ξ f t dt f ξ 2 f ξ
¢Û =
-
ò
Δίνεται η συνάρτηση
( )
x 1
f x e lnx
-
= -
,
(
)
x 0,
Î +¥
.
Γ1.
Να μελετήσετε την
f
ως προς την μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τι-
μών της.
(
Μονάδες 6
)
Γ2.
(εκτός ύλης)
Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g με
( )
h(x)
2
1
g x
t 1dt
=
-
ò
ΘΕΜΑ Γ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015